La probabilità nella scuola media
Vittorio De Petris - 3/05/2002

A Mauro Cerasoli
e alle lunghe chiacchierate in montagna
sulla matematica, l'arte culinaria e altro...

CAP. 1 DEFINIZIONI

 1.1 Probabilità di un evento (definizione classica) e primi esercizi

La maggior parte dei fenomeni, ai quali assistiamo quotidianamente, può manifestarsi in vari modi, ma è quasi sempre impossibile stabilire a priori quale di essi si presenterà ciascuna volta. Pensiamo al papà in attesa davanti alla sala parto, prima che l'ecografia permettesse di conoscere in anticipo il sesso del nascituro o allo scommettitore che ascolta alla radio i risultati delle partite, mentre scorre quelli da lui pronosticati sulla schedina. In alcuni casi i vari eventi si presentano tutti con la stessa probabilità, nel senso intuitivo del termine. Pensiamo al lancio di una moneta, in cui non vi sono elementi per dare all'esito "testa" una maggiore o minore probabilità rispetto all'esito "croce". Altre volte, valutati i pro ed i contro, crediamo di poter assegnare a qualcuno di essi un grado di fiducia maggiore, come fa un pescatore prima di decidere dove lanciare la lenza. La matematica classica sembra sfuggire a tali situazioni d'indeterminatezza: due più due fa sempre quattro. Anche i giornalisti affermano che la vittoria del campionato da parte di una certa squadra è matematicamente certa, quando calcolano che la seconda in classifica non ha più possibilità di raggiungere la prima, nelle rimanenti partite del campionato. Non è stato facile, per gli stessi matematici, abbandonare le certezze dell'algebra e della geometria ed avventurarsi nel difficile campo dei fenomeni aleatori. Tuttavia la sempre crescente consapevolezza dell'importanza del caso nella maggior parte dei fenomeni oggetto di studio nelle più svariate discipline scientifiche (dinamica dei gas, fisica delle particelle, biologia, ecologia, medicina, meteorologia, economia, ecc.), ha indotto un numero sempre più grande di matematici, taluni di chiarissima fama, ad occuparsi della costruzione di modelli atti a dominare il regno dell'incertezza e della casualità.
Intendiamoci, non è che i matematici si siano messi a fare gli indovini, usando la calcolatrice al posto della sfera di cristallo. Calcolare le probabilità non significa "prevedere il futuro", ma trovare come distribuire un maggiore o minore grado di fiducia tra i vari possibili modi in cui si potrà presentare un certo fenomeno aleatorio e su come definire operazioni e proprietà che rendano coerenti i risultati ottenuti.
Non tutto è andato in maniera liscia, tanto che spesso non si è neppure trovato un accordo per definire una volta per tutte il termine probabilità e per fissare il modo di calcolarla. Storicamente una prima definizione, che si usa chiamare "classica" e che si trova tuttora nella maggior parte dei dizionari, è quella che definisce la probabilità di un evento aleatorio come rapporto tra il numero di casi favorevoli ad esso e quello di tutti i casi possibili, purché essi abbiano la stessa probabilità di verificarsi. Tale definizione non è esente da difetti, tra i quali ad esempio l'uso della parola probabilità all'interno della stessa definizione di probabilità, che rende quindi incerto il significato di tale termine. Essa, tuttavia, si attaglia abbastanza bene a quelle situazioni in cui i fenomeni aleatori presentano situazioni di simmetria: si pensi alle due facce di una moneta o alle sei facce di un dado, o all'estrazione di una carta da un mazzo o all'uscita di un numero alla roulette. Tutti i vari eventi, a meno di trucchi, hanno la stessa probabilità di verificarsi. Indicando con p la probabilità si ha pertanto:

Dalla suddetta definizione deriva che la misura della probabilità di un evento può variare da un minimo di 0 (nessun caso favorevole) come ad esempio l'uscita del 91 al Lotto (0 su 90), fino ad un massimo di 1 (tutti i casi favorevoli), come ad esempio pescare una pesciolino rosso da una vasca che contiene solo pesci rossi (n su n). Diremo, nel primo caso, che l'evento è impossibile e nel secondo caso che l'evento è certo. In tutti gli altri casi, gli eventi, che chiameremo aleatori hanno una probabilità 0 < p < 1, tanto più vicina a zero quanto più è difficile che l'evento accada e tanto più vicina ad 1, quanto più è facile che accada.
Un'altra importante proprietà è che la somma delle probabilità di tutti i possibili esiti di un evento aleatorio dev'essere 1, poiché è certo che uno qualsiasi di essi dovrà per forza verificarsi.
Quale primo approccio alla probabilità, la definizione classica offre lo spunto per molti esercizi in cui gli alunni possono mettere a frutto le tecniche di calcolo apprese nella combinatoria, che dovrebbe costituire un pre-requisito.
Contemporaneamente ai primi esercizi, si potranno introdurre o puntualizzare concetti e definizioni che saranno utilizzati nello studio della probabilità: Tali definizioni possono bastare, per il momento, ed è bene passare immediatamente a qualche esercizio, per fissare meglio i concetti fondamentali fin qui accennati.
Esercizio 1.1 Si lancino contemporaneamente due monete. Qual è la probabilità che esca testa su entrambe?
Occorre un po' di combinatoria ed un grafo ad albero. Partendo dal vertice in alto e percorrendo fino al termine i vari rami che traggono origine da esso, troviamo i quattro casi possibili, che costituiscono lo spazio campione: {TT, TC, CT, CC}. L'evento TT è uno dei quattro, quindi p=1/4.

Erroneamente, nella famosa Encyclopédie di Diderot e D'Alambert, si sosteneva che l'analogo caso di due figli presentava tre possibilità, due maschi, due femmine o un maschio e una femmina, assegnando probabilitÓ 1/3 a ciascuno dei casi..
I grafi ad albero sono molto utili nello studio della probabilità e della combinatoria. Quello appena visto è un grafo regolare, in cui ogni nodo ha lo stesso numero di rami e ciascun ramo ha lo stesso "peso" (inteso in questo caso come probabilità) degli altri.
Esercizio 1.2 Un giocatore di poker ha in mano quattro carte di cuori ed una di picche. Decide di scartare quest'ultima, pescando un'altra carta e tentare di fare "colore". Quale probabilità ha?
Occorre togliere dallo spazio campione le 5 carte che il giocatore ha in mano. Restano così 27 carte, fra le quali ci sono 4 cuori (escludendo quelli già in mano). La probabilità è dunque 4/27. Qualche alunno potrebbe chiedersi se non debbano essere tolte anche le 15 carte in mano agli altri 3 giocatori. Occorre chiarire loro che, non sapendo quali carte hanno in mano tali giocatori, dobbiamo considerare possibili tutti i 27 casi, anche se il mazzo da cui il banco prenderà la carta ne contiene solo 12.
Chi non fosse del tutto convinto di quest'ultima affermazione può verificarlo analiticamente nell'esercizio 3.5, immaginando un'urna con con 27 biglie da cui vengono tolte 15 biglie, senza vederne il colore.
Esercizio 1.3 Due ragazzi fanno alla conta, gettando la mano con alcune dita distese e facendo la loro somma. Il primo ha scelto "Pari". Qual è la probabilità che si verifichi tal evento?
Si è portati a credere che pari e dispari siano eventi ugualmente probabili ciascuno con probabilità 1/2.
Se si analizza invece la situazione con una tabella a doppia entrata, si vede che l'evento "esce un numero pari" (caselle gialle) è leggermente avvantaggiato, poiché i casi favorevoli sono 13 su 25 contro i 12 su 25 dell'evento opposto (caselle verdi).
Diversa è la situazione se si considera la possibilitÓ di poter gettare anche lo zero (mano chiusa). In tal caso la situazione torna in perfetta parità con 18 casi su 36 per entrambi gli eventi.

Esercizio 1.4 Si lanciano due dadi. Qual è la probabilità che almeno uno di essi sia un 6?
Costruiamo lo spazio campione, utilizzando una tabella a doppia entrata, con i 36 casi possibili. Abbiamo utilizzato dadi di due colori diversi per far vedere che l'uscita della coppia {1,2} è un evento distinto da quello della coppia {2,1} e così per le altre coppie. Si vede che ci sono 11 casi (evidenziati in blu) in cui esce il 6 su almeno uno dei dadi. La probabilità dell'evento è quindi p=11/36.
E' probabile che qualche alunno abbia risposto 2/6 o, semplificando, 1/3, pensando che in un dado la probabilità è 1/6 e quindi con due dadi tale probabilità si raddoppi. E' un errore abbastanza comune.
Più avanti si vedrà come calcolare razionalmente la probabilità del sei su ciascun dado e come ottenere quella dei due dadi.

Esercizio 1.5 Al Luna Park una ruota di legno, suddivisa in settori colorati di ampiezze diverse, gira velocemente (rendendo indistinguibili i vari colori, come in un disco di Newton), mentre un giocatore spara una freccetta con una carabina ad aria compressa, colpendo a caso uno dei settori. Che probabilità ci sono di vincere la bambolina abbinata al settore di colore nero, il cui angolo misura 18 gradi?
Ecco un bell'esercizio sui settori circolari. Si deve considerare che un settore di 18 gradi rappresenta 18/360 dell'intera ruota e quindi la probabilità è di 1/20.

Gli alunni probabilmente non se ne sono accorti, ma siamo passati dalla probabilità di eventi discreti (cioè distinguibili e numerabili all'interno di un insieme finito, come le biglie in un'urna), alla probabilità di eventi continui. Lo spazio campione è dato dall'intera superficie del cerchio. In tale spazio non ha senso considerare la probabilità che la freccetta colpisca un particolare punto, ma solo quella di colpire un punto che appartenga ad una certa superficie all'interno dello spazio campione. Supponendo quindi che la probabilità sia distribuita in modo uniforme all'interno della ruota (come ci assicura la velocità con cui gira), quella di colpire un particolare settore è legata al rapporto tra la superficie considerata e quella dell'intero spazio campione.
Si ha una situazione analoga scegliendo un punto a caso all'interno di un segmento AB e cercando la probabilità che tale punto appartenga al segmento MN.
In tal caso la probabilità è data dal rapporto tra le lunghezze dei due segmenti MN ed AB.