Senza
trigonometria
Dialogo sui minimi
sistemi - di Pietro Planezio e Ugo Ercolani
Ora proviamo una cosa un po' laboriosa e macchinosa: cerchiamo di analizzare il moto della sonda DOPO l'incontro con Giove, SENZA TRIGONOMETRIA, ma con la matematica semplicissima che abbiamo usato sin'ora.
Probabilmente esiste un sistema più semplice che non preveda l'uso di una matematica un po' più complessa, ma mi pare di non ricordarlo.
Quindi procederemo lungo una strada un po' tortuosa, del resto probabilmente percorrendo tutto questo zig-zag, ci si impadronisce un po' meglio dei concetti. Allora cominciamo.
Dopo l'incontro, abbiamo visto, la nuova V=15,250, di cui 13,068 tangente all'orbita di Giove, e 7,858 perpendicolare alla stessa.
Incidentalmente, ma non serve, diciamo che l'angolo con cui questa rotta inizialmente diverge da quella di Giove vale 31 gradi.
Abbiamo notato che, ad una certa distanza dal Sole, la Velocità dipende SOLO dall'asse maggiore dell'orbita (in linguaggio corretto è SEMIASSE, difatti l'asse maggiore viene indicato con 2a, ma non sottilizziamo, per lo meno all'inizio).
Comunque si può, con qualche passaggio algebrico, arrivare ad una formula generale.
Vediamo se riesco a scriverla: 2a=2R/[2-(V/Vc)2] dove 2a è l'asse maggiore, R la distanza a cui si fa la misura, V la velocità della sonda, Vc la velocità circolare che competerebbe alla distanza R in questione.
Facendo i calcoli, viene un asse maggiore di circa 16,3 UA.
Quindi la nostra sonda è inserita su un'orbita, non sappiamo ancora quale, che però HA UN ASSE MAGGIORE DI 16,3 UA.
Attenzione ora.
Alla distanza di 8,15 UA, un pianeta che descriva un'orbita circolare, cioè del diametro 16,3, avrebbe V=10,438Km/sec.
Anche la nostra sonda partita da 5,2 UA avrebbe la stessa velocità, come qualunque sonda che descriva un'orbita con l'asse maggiore 2a=16,3 UA, solo orientata in modo diverso.
Quindi, la nostra sonda (quella vera) ha anche lei una V=10,438. Però, se aveva una Vtang.=13,068 a 5,2 UA, per la legge delle aree (Keplero, seconda) a 8,15UA avrà una Vtang=8,338.
Usando un po' di Pitagora, avremo Vrad=6,279.
Il rapporto Vrad/Vcirc= 0,602.
A questo punto c'è qualcosa che bisogna mangiare ad occhi chiusi.
In che senso? Vediamo.
Torniamo sulle nostre sonde strane: con V tutta tangente, Vrad/Vcirc=0, l'orbita è circolare, eccentricità zero.
Con tutta la V radiale, Vrad/Vcirc=1, l'orbita è rettilinea "avanti ed indietro, sovrapposta", con eccentricità=1.
Se facciamo qualche prova, facendo come se la trigonometria non esistesse, facendo passare tre o quattro sonde, con perieli vari, TUTTE con lo stesso asse maggiore, (16,3) e quindi con la stessa velocità a 8,15UA, notiamo una evidenza: Vrad/Vcirc coincide con l'eccentricità!!!
QUINDI ABBIAMO L'ECCENTRICITA' che ci serviva, vale: e=0,602.
A questo punto diventa tutto facile.
Con un po' di algebra, da e=(Q-q)/(Q+q) si ricava Q=q(1+e)/(1-e).
Se e=0,602, sarà Q=4,025q. Se Q+q=16,3 allora sarà:
q=16,3/(1+4,025)=3,10 e Q=3,10x4,025=13,20.
Possiamo fare prove di controllo, e FUNZIONA.
Quindi la nostra sonda, dopo l'incontro con Giove, anziché a 6 arriverà a 13,20 UA. Chiaro? Speriamo…
Possiamo ricapitolare questo metodo un po' grottesco, che permette però di arrivare passo passo all'orbita finale, senza andare oltre la radice quadrata.
Nel punto che ci interessa (nel caso, 5,2 UA) la Vtot. sarà caratteristica di un certo asse maggiore dell'orbita, QUALUNQUE SIA la direzione.
Usando la formula generale 2a=2R/[2-(V/Vc)2] otterremo questo asse maggiore, che sarà anche quello della nostra sonda.
Ora spostiamoci su questa orbita, fino all'altezza in cui incrocia l'ORBITA CIRCOLARE con lo stesso asse maggiore,( che per lei è l' unico).
Orbita circolare ed orbita ellittica, saranno caratterizzate da una sola velocità. Però in questo caso, SENZA TRIGONOMETRIA, solo usando il rapporto tra velocità "radiale" e velocità totale, (uguale alla circolare) determiniamo l'eccentricità.
Conoscendo il semiasse maggiore e l'eccentricità, il resto è (o dovrebbe essere) facile. Ora vediamo se troviamo un sistema per passare DIRETTAMENTE alle caratteristiche orbitali con un percorso più breve. Non è detto che ci si riesca, ma proveremo.
Pietro