Da “I misteri del tempo” di Paul Davies (un libro che dovrebbe essere nella biblioteca di ogni astrofilo).
Fin qui tutto bene.
Ma ora ci imbattiamo in un rompicapo. Se il moto degli orologi è relativo, allora anche l’effetto di
dilatazione temporale è relativo? Supponiamo di avere due orologi, A e B, ognuno al polso di due osservatori
umani in moto relativo. Nel sistema di riferimento di A è l’orologio B che si sta movend
o
e che quindi è rallentato a causa della dilatazione temporale. Nel sistema di riferimento di B, invece, è A
che si sta movendo e che quindi rallenta.
Ogni osservatore, dunque, vede l’altro orologio rallentare! Ma
come può essere? Sembra un paradosso. Se A rallenta deve rimanere indietro rispetto a B. Ma se è B a
rallentare, A deve guadagnare su B. Come è possibile che A sia,
simultaneamente, indietro e avanti rispetto a B?
Questa era, in poche parole, l’obiezione di Dingle. Come fece sarcasticamente notare “non occorre un’intelligenza
superiore per vedere che è impossibile”. Questo problema è spesso indicato come il “paradosso dei
gemelli”, per il modo in cui viene formulato.
Immaginiamo una coppia di gemelle, Ann e Betty. Quest’ultima se ne va su una navicella spaziale muovendosi
ad una velocità prossima a quella della luce e ritorna sulla Terra dopo qualche anno. Ann invece non si
muove.
Visto da terra è il tempo di Betty ad essere rallentato, e quindi, al suo ritorno, Betty dovrebbe trovare Ann
più vecchia di lei. Ma, visto dall’astronave, è la Terra che si sta muovendo, perciò è il tempo di Ann
ad essere rallentato, e tornando indietro Betty dovrebbe scoprire di essere lei la più vecchia. Comunque sia
non è possibile che entrambe le spiegazioni siano corrette: quando le due gemelle si ritrovano, Betty può
essere più giovane o più vecchia di Ann, ma non le due cose insieme. Da qui l’appellativo di paradosso.
In realtà non c’è alcun paradosso, come rilevò subito Einstein, che per primo sollevò accidentalmente il
problema dei gemelli nel 1905. La soluzione è data dal fatto che le due prospettive, quella di Ann e quella
di Betty, non sono in realtà completamente simmetriche. Per compiere il suo viaggio, Betty deve accelerare
partendo da Terra, viaggiare a velocità costante per un certo periodo, quindi fermarsi, girarsi, accelerare
di nuovo, volare ancora un po’ e finalmente fermarsi per toccare nuovamente il suolo sulla Terra.
Tutte le manovre di Betty precludono la simmetria fra le due serie di osservazioni. Il principio di
relatività, come ricorderete, si applica al moto uniforme, e non in
caso di accelerazione. Questa infatti non è relativa, bensì assoluta. Tenendo conto di ciò, sarà quindi
Betty la più giovane. Al suo ritorno troverà Ann più vecchia.
E’ importante rendersi conto di due cose. Innanzi tutto l’effetto dei gemelli è reale,
non si tratto solo di un esperimento mentale. Secondariamente, esso non ha nulla a vedere con l’effetto del
moto sul processo di invecchiamento. Non bisogna pensare che gli anni trascorsi nella navicella spaziale siano
in qualche modo più clementi nei confronti di Betty a causa del suo confinamento o dello spostamento
attraverso lo spazio. Supponiamo per ipotesi che Betty parta nell’anno 2000 e che ritorni nel 2020.
Per Ann l’assenza della gemella sarà durata 20 anni e si troverà quindi invecchiata di altrettanto. Se
Betty avesse viaggiato a 240.000 chilometri al secondo, secondo la formula di Einstein, nel suo sistema di
riferimento il viaggio dovrebbe essere durato solo dodici anni.
Betty ritornerà nell’anno 2020 avendo effettivamente vissuto dodici anni ed essendo invecchiata solo di
dodici anni. Potrà rimanere sorpresa dal fatto che venti anni terrestri per lei
siano durati solo dodici, ma l’invecchiamento di sua sorella glielo testimonierà.
Il miglior modo per esaminare l’esperimento dei gemelli è in termine di eventi. Esistono due eventi limite:
la partenza di Betty dalla Terra ed il suo successivo ritorno. Le due gemelle devono essere d’accordo sul
momento in cui questi eventi si verificano, perché ne sono entrambe testimoni. Il problema è dunque che per
Ann venti anni separano i due eventi, mentre per Betty gli anni sono dodici.
Non c’è contraddizione in questo, con buona pace di Dingle. Bisogna solo accettare il fatto che per
osservatori diversi trascorrono fra gli stessi eventi intervalli di tempo diversi. Non esiste un intervallo di
tempo costante fra i due eventi, non c’è una durata reale, ma solo differenze di tempo relative.
Esistono il tempo di Ann ed il tempo di Betty e non sono la stessa cosa. Nessuna delle due ha ragione o torto
nel trarre la propria conclusione, sono semplicemente due cose diverse.
Ora vorrei cercare di farvi apprezzare meglio i numeri in questione. Supponete di essere invitati ad
imbarcarvi su questa navicella che parte nell’anno 2000 e ritorna nel 2020. Vi viene offerta la possibilità
di scegliere quanto velocemente volete “raggiungere” l’anno terrestre 2020, il che determinerà la
vostra velocità rispetto alla Terra. Se siete d’accordo nell’aspettare dieci anni, cioè comprimere 20
anni in 10 dovrete viaggiare a una velocità pari all’86% di quella della luce.
Per ridurre la durata a due soli anni, invece, occorre raggiungere il 99,5% della velocità della luce. Nella
figura 2.1 ho rappresentato graficamente questa relazione. Possiamo notare come, a mano a mano che ci si
avvicina alla velocità della luce, il “viaggio” fra gli anni terrestri 2000 e 2020 si accorcia. I muoni
nell’anello di accumulazione del CERN potrebbero compiere il viaggio in pochi mesi, se solo vivessero così
a lungo.
Aspetta un momento, protesta lo scettico con malcelata invidia per tutti
i Dingle di questo mondo, cerchiamo di metterci un po’ di buonsenso. Supponiamo di fare davvero questo
viaggio; che cosa vedremmo effettivamente? L’orologio sulla terra
ci sembrerebbe andare lento, veloce o cos’altro? Come fanno gli orologi a sapere che l’astronave cambierà
direzione e tornerà comunque indietro, rompendo così la simmetria? Qual’è l’orologio esatto?
E’ sorprendente come, quasi un secolo dopo la scoperta di Einstein della relatività del tempo, la gente
rimanga ancora sconcertata da quest’idea e continui a sollevare le stesse obiezioni. Anche dopo aver
ricevuto una spiegazione esauriente, molti profani ancora non sono convinti. Esaminiamo attentamente un
esempio specifico e cerchiamo di chiarire la questione una volta per tutte. Se non amate le discussioni
tecniche, vi suggerisco di passare direttamente al prossimo paragrafo. Comunque, sono sufficienti qualche
nozione di aritmetica elementare e un po’ di immaginazione.
Betty lascerà la Terra nell’anno 2000 per raggiungere con una navicella spaziale una stella distante 8 anni
luce (misurata nel sistema di riferimento terrestre, viaggiando ad una velocità di 240.000 chilometri al
secondo. Per semplificare i calcoli, trascurerò i periodi in cui la navicella accelera e decelera (li
considero cioè istantanei) e inoltre supporrò che Betty non perda tempo a visitare la stella.
Per raggiungere in un tempo trascurabile una velocità pari all’80% di quella della luce è necessaria un’accelerazione
enorme, che risulterebbe fatale per un essere umano (ma questo, ai nostri fini, è del tutto secondario).
Sarebbe facile considerare un processo di accelerazione più realistico, ma il risultato sarebbe solo un
calcolo più
complesso con le stesse conclusioni finali.
Determiniamo innanzitutto la durata complessiva del viaggio prevista da Einstein per ciascuna gemella.
Viaggiando ad una velocità pari all’80% della velocità della luce occorrono dieci anni
per percorrere 8 anni luce, e quindi per Ann, sulla Terra, Betty rientrerà nell’anno 2020. Betty, al suo
ritorno, concorderà sul fatto che sia l’anno terrestre 2020 ma insisterà che per lei sono trascorsi solo
dodici anni, e l’orologio dell’astronave - un orologio atomico accuratamente sincronizzato prima della
partenza con uno identico rimasto a terra - confermerà la sua affermazione segnando l’anno 2012.
Ora supponiamo di dotare le gemelle di potenti telescopi così che possano osservare durante il viaggio una l’orologio
dell’altra e rendersi conto da sole di che cosa sta accadendo. L’orologio terrestre di Ann funziona
regolarmente, e Betty lo osserva con il suo telescopio allontanandosi nello spazio. Secondo Einstein, Betty
dovrebbe vedere l’orologio della sorella che si muove al 60% della velocità del suo.
In altre parole, in un’ora dell’orologio spaziale quello terrestre dovrebbe avanzare di soli 36 minuti. In
realtà, Betty vede l’orologio andare ancora più lentamente. Ciò è dovuto ad un effetto supplementare,
non direttamente connesso con la relatività, che viene generalmente trascurato nella discussione del
paradosso dei gemelli. E’ invece essenziale considerare questo ulteriore effetto per capire che cosa vedono
realmente le gemelle.
Vorrei spiegare le cause di questo rallentamento supplementare. Quando Betty si volta a guardare la Terra, non
la vede come è in quell’istante ma com’era qualche tempo prima, allorché la luce ha lasciato il pianeta.
Il tempo impiegato dalla luce per percorrere la distanza tra la Terra e l’astronave andrà regolarmente
aumentando a mano a mano che la navicella si allontana nello spazio. Di conseguenza, Betty vedrà gli eventi
terrestri con sempre maggior ritardo, dal momento che la luce deve coprire una distanza via via crescente fra
la Terra e l’astronave.
Per esempio, dopo un’ora di volo, misurata da Terra, Betty si è allontanata 0,8 ore luce (48 minuti luce),
quindi vede ciò che è accaduto sulla Terra 48 minuti prima, essendo questo il tempo (misurato nel sistema di
riferimento terrestre) necessario perché la luce che porta le immagini a Betty, possa raggiungerla a questo
punto del viaggio. In particolare, l’orologio di Ann sembrerà a Betty - mi sto riferendo all’effettiva
apparenza visiva - comunque lento, indipendentemente dalla teoria
della relatività.
Dopo due ore di volo, Betty vedrà l’orologio terrestre ritardare ancora di più. Questo “normale”
rallentamento degli orologi, e degli eventi in generale, visto da un osservatore in movimento è detto “effetto
Doppler “, dal nome del fisico svedese che per primo lo utilizzò per descrivere una proprietà delle onde
sonore. Sommando l’effetto Doppler a quello di dilatazione
temporale si ottiene il fattore di rallentamento complessivo.
Anche Ann vedrà l’orologio di Betty rallentato a causa dell’effetto Doppler, dato che la luce proveniente
dalla navicella impiega sempre più tempo per ritornare sulla terra. Rileverà inoltre un ritardo dovuto all’effetto
di dilatazione temporale. Per simmetria, il fattore di rallentamento complessivo dell’orologio della sorella
dovrebbe essere lo stesso per entrambe.
Calcoliamo ora questo fattore di rallentamento, prima dal punto di vista di Ann e poi da quello di Betty. A
tale scopo, occorre concentrarsi sull’importante evento costituito dall’arrivo di Betty sulla stella. Il
viaggio di andata, misurato da Terra, dura dieci anni. Ann, però, non vedrà effettivamente la navicella
raggiungere la stella nel 2010, poiché a questo punto Betty sarà lontana 8 anni luce. Dato che la luce deve
impiegare altri 8 anni per raggiungere la Terra, Ann avrà la prova visiva dell’arrivo della sorella non
prima del 2018.
Qual’è il tempo segnato dall’orologio di Betty al momento dell’arrivo? La formula di Einstein ci dice
che l’orologio di Betty funziona ad una velocità pari al 60% di quella di un orologio terrestre, e quindi
dieci anni sulla Terra corrispondono a sei anni sull’astronave. Quando Betty arriva sulla stella il suo
orologio indica che sono trascorsi sei anni. Pertanto quando Ann vede l’arrivo nel 2018, l’orologio dell’astronave
segna 2006. Per quanto riguarda l’apparenza visiva dell’orologio della sorella, Ann vede dunque che
durante i suoi diciott’anni ne sono trascorsi solo sei, quindi l’orologio di Betty ha funzionato a un
terzo della velocità di quello terrestre.
Ann, ora, è perfettamente in grado di separare l’effetto Doppler da quello di dilatazione temporale e di
calcolare l’”effettiva” velocità dell’orologio di Betty dopo aver isolato il ritardo della luce.
Otterrà una velocità pari al 60% di quella del suo orologio, in accordo con la formula di Einstein. Quindi
Ann deduce, ma non è effettivamente in grado di vedere, che durante tutto il viaggio di andata l’orologio
di Betty è avanzato di trentasei minuti per ogni ora terrestre.
Dal punto di vista di Betty, le cose si sono ribaltate. Concorda ovviamente sul fatto che l‘orologio dell’astronave
segna l’anno 2006 al momento del suo arrivo sulla stella; ma in quell’istante cosa vede guardando l’orologio
terrestre? Sappiamo che nel sistema di riferimento della Terra l’evento si verifica nell’anno 2010; dato
però che la stella è distante otto anni luce, il segnale luminoso che effettivamente raggiunge la navicella
in quel momento sarà partito otto anni prima, cioè nel 2002.
Quindi Betty, guardando la Terra nel momento in cui raggiunge la stella, vedrà l’orologio terrestre segnare
l’anno 2002. Il suo segnerà l’anno 2006. Per quanto riguarda l’effettiva apparenza dell’orologio terrestre,
questo indicherà che sono trascorsi due anni rispetto ai sei di Betty. Essa concluderà che, durante il
viaggio di andata, l’orologio della sorella ha funzionato a una velocità pari a un terzo di quella del suo.
Questo è lo stesso fattore di ritardo che Ann aveva trovato per l’orologio di Betty, e quindi la situazione
è effettivamente simmetrica. Anche in questo caso Betty è in grado di
separare l’effetto Doppler da quello di dilatazione temporale e di dedurre che l’orologio di Ann ha “realmente”
funzionato al 60% del suo.
Betty si imbarca immediatamente per il viaggio di ritorno. Ora si sta avvicinando alla Terra e quindi il
ritardo della luce, cioè l’effetto Doppler, è opposto a quello di dilatazione temporale. Il primo provoca
un’apparente accelerazione degli eventi, mentre il secondo tende
ancora a rallentarli. Ragioniamo con i numeri. Innanzitutto che cosa vede Ann mentre sua sorella sta tornando
verso la Terra? Avendo già appurato che Betty rientra nell’anno 2020 e che Ann la vede arrivare sulla
stella nel 2018 ,il viaggio di ritorno, considerando l’avvicinamento della navicella, sembrerà compresso in
due soli anni di tempo terrestre.
Abbiamo già stabilito che quando nel 2018 Ann vede l’orologio di sua sorella a metà del viaggio,
questo segna l’anno 2006, e che quando lo rivede di nuovo a terra segna il 2012. Quindi nei due anni
terrestri di durata del viaggio di ritorno, Ann vedrà l’orologio della navicella avanzare di sei anni; in
altre parole vedrà quell’orologio funzionare tre volte più
velocemente del suo. Questo è un punto fondamentale: durante il viaggio di ritorno l’orologio dell’astronave
visto da Terra sembrerà accelerato, e non rallentato. L’effetto Doppler prevale su quello di dilatazione
temporale.
Come prima Ann è in grado di separare i due effetti e di concludere che l’orologio della navicella sta “realmente”
funzionando ad un velocità pari al 60% della velocità del suo; in altre parole anche se sembra accelerato,
Ann deduce che “in realtà” si sta muovendo alla stessa velocità rallentata del viaggio di
andata. Quindi anche se l’apparenza visiva dell’orologio della navicella è decisamente differente nelle
due frazioni di viaggio, il fattore di dilatazione temporale rimane comunque sempre pari a 0,6. Vorrei infine
esaminare il viaggio di ritorno come viene osservato da Betty, sull’astronave.
Essa ha impiegato sei anni per il tragitto di andata e ne impiegherà altri sei per quello di ritorno,
raggiungendo la Terra nell’anno 2012 secondo il suo orologio. Nella seconda parte del viaggio, però,
osserva anche l’orologio terrestre. Al momento dell’arrivo sulla stella l’aveva visto (realmente,
visivamente) segnare l’anno 2002. Sappiamo che raggiungerà la Terra nel 2020, quindi Betty vedrà l’orologio
terrestre avanzare di diciotto anni mentre sulla navicella ne trascorrono sei. Ciò significa che a Betty l’orologio
terrestre sembra funzionare tre volte più velocemente del suo.
Questo è lo stesso fattore per il quale Ann vede l’orologio della sorella accelerato: c’è quindi una
completa simmetria anche nella seconda parte del viaggio. Betty può ancora isolare l’effetto Doppler e
dedurre che l’orologio terrestre sta “realmente” andando lentamente,
ad una velocità pari al 60% di quella del suo. L’elemento essenziale che deve essere ricavato da tutto
questo è che nei periodi in cui la navicella sta viaggiando a velocità costante Ann deduce
che l’orologio di Betty sta funzionando lentamente e Betty deduce la stessa cosa per sua sorella.
Nel viaggio di andata, ognuna, effettivamente vede l’orologio dell’altra andare (ancora più) lentamente,
ma in quello di ritorno
le gemelle vedono i reciproci orologi accelerati. Le deduzioni e le esperienze sono perfettamente coerenti e
smentiscono l’esistenza di un paradosso
rappresentato dall’affermazione che “ogni orologio marcia più lentamente dell’altro”.
Per quei lettori che si sono fatti strada attraverso questi calcoli, dirò che tali numeri celano una
conclusione relativa alle distanze. Sapendo che nel sistema di riferimento di Betty la Terra si allontana a
una velocità pari all’80% della velocità della luce e che il viaggio fino alla stella dura sei anni,
allora la distanza della stella misurata da Betty deve essere
0,8x6=4,8 anni luce. Pertanto anche se per Ann la stella dista 8 anni luce, per Betty ne dista solo 4,8. La
distanza si contrae dello stesso fattore (0,6) di cui il tempo si dilata.
Addio al presente
Anche se alla fine del viaggio le esperienze di Ann e Betty sostanzialmente coincidono, ci si può
ancora cacciare in un ginepraio ponendosi domande del tipo: che cosa sta facendo Betty quando l’orologio di
Ann segna l’anno 2007? Oppure: che cosa segna l’orologio di Ann quando Betty arriva sulla stella? Quando
due eventi si verificano in luoghi spazialmente separati e sono relativi a osservatori in differenti stati di
moto, non è possibile attribuire un significato inequivocabile a queste domande.
Quando gli orologi non hanno più lo stesso ritmo, non esiste più un’”ora” universale o un momento
presente su cui i diversi osservatori possano concordare. Nel 2007 Ann ha una sua definizione dell’”ora”,
e Betty ne ha un’altra. In generale queste non coincidono. Per esempio, non ha senso aspettarsi risposte
coerenti a meditazioni astratte del seguente tipo:
Ann: “Qui sulla Terra siamo nel 2007. Mi domando se Betty sia già arrivata sulla sua stella. So che deve
impiegare solo sei anni del suo tempo e ne sono già trascorsi sette del mio. Naturalmente se guardo
attraverso il telescopio, vedrò la navicella ben lontana dalla sua destinazione, ma io so che il telescopio
non mi tiene aggiornata, a causa del fatto che la luce impiega un certo tempo a percorrere la distanza fra l’astronave
e la Terra. Quello che voglio sapere è dove si trova Betty ora”.
Nel sistema di riferimento di Ann, Betty è distante 7x0,8=5,6 anni luce, e in quel momento (l’”ora” di
Ann nel 2007) sta facendo colazione, ma naturalmente per Betty questa colazione non ha luogo nel 2007. L’orologio
di Betty indica che dalla partenza sono trascorsi 7x0,6=4,2 anni. Se si gira a guardare la Terra, vede
effettivamente l’orologio terrestre segnare 4,2x1/3=1,4 anni, ma ovviamente sa che in quel momento sulla
Terra non è “realmente quell’anno”. Per calcolare quella data
deve aggiungere il ritardo del tempo impiegato dalla luce, che, misurato da Ann sulla Terra, è di 5,6 anni.
Quindi Betty calcola 1,4+5,6=7, ottenendo esattamente l’anno 2007 terrestre, che Ann
ritiene simultaneo con quella particolare colazione sulla navicella. Betty vede le cose in maniera differente.
Nel suo sistema di riferimento la partenza è avvenuta da soli
4,2 anni, quindi la luce non può aver impiegato 5,6 dei suoi anni
per raggiungerla partendo dalla Terra: a quell’epoca, infatti, non era nemmeno partita.
Dato che Betty vede la Terra allontanarsi all’80% della velocità della luce, dopo 4,2 anni essa sarà
distante, nel suo sistema di riferimento, 3,36 anni luce. Occorrono 3,36 dei suoi anni perché la luce partita
dalla Terra raggiunga l’astronave. Ma Betty, che vede l’orologio terrestre funzionare a
1/3 della velocità del suo, penserà che sulla Terra siano trascorsi solo 3,36/3=1,12 anni da quando la luce
è stata emessa nell’anno terrestre 2001,4.
Ciò significa che, per quanto riguarda Betty, la data sulla Terra “ora” (vale a dire mentre sta
riflettendo sull’irritante questione relativa a questo particolare pasto) è 1,4+1,12=2,52 anni dalla
partenza, sicuramente non il 2007. Lo stesso numero può essere
calcolato senza curarsi dei segnali luminosi e limitandosi a notare che il tempo trascorso sulla Terra
dalla partenza di Betty è pari al 60% del suo tempo, cioè 4,2x0,6=2,52. Lo stesso procedimento matematico
applicato alla data di arrivo di Betty sulla stella (dopo sei anni dell’astronave) ci dice che questo evento
avviene nell’anno terrestre 2003,6. Per contro Ann considera tale evento simultaneo con l’anno 2010.
La conclusione di tutto ciò è che Ann e Betty non condividono lo stesso “ora”. Un “Betty-evento”
B può essere considerato da Ann come simultaneo con un “Ann-evento”
A, anche se Betty non ritiene A e B simultanei, ma sceglie per
questo ruolo un Ann-evento totalmente differente (in questo caso precedente).
Ma ciò non ha senso, interrompe il nostro scettico. Ce cosa succede se
Ann chiama Betty e semplicemente le chiede che cosa sta facendo “ora”?
Non può farlo! La stessa teoria della relatività che prevede l’effetto dei gemelli proibisce anche che
un qualunque corpo fisico o influsso possa viaggiare più veloce della luce, quindi non
può esserci comunicazione istantanea fra Ann e Betty. Il fatto che gli “ora” o le definizioni di
simultaneità in posti distanti
di Ann e Betty siano in disaccordo non è dunque motivo di preoccupazione. Non si può attribuire alcun
significato fisicamente rilevante a eventi che si verificano “ora” in un posto lontano, in quanto non
possiamo essere al corrente ne possiamo influenzare tali eventi in alcun modo.
Eseguire calcoli relativi a “eventi simultanei” distanti è un puro esercizio di contabilità. Non appena
Ann e Betty si ritroveranno, potranno confrontare i loro appunti e, come abbiamo visto, troveranno che le loro
rispettive storie sono perfettamente coerenti. Se siete colpiti dalla mancanza di un’”ora” universale,
concordato, globale come un’idea folle, sappiate che non è la prima volta che se ne parla. Nel 1817, il
saggista inglese Charles Lamb scrisse, con prodigiosa preveggenza: “Il tuo “ora” non è il mio “ora”;
e ancora, il tuo “dopo” non è il mio “dopo”; ma il mio “ora” può essere il tuo “dopo” e
viceversa”.
Mi sono soffermato sulla storia di Ann e Betty perché ricevo continuamente lettere in cui mi si chiedono
chiarimenti sull’effetto dei gemelli, e manoscritti nei quali si sostiene che l’effetto dei gemelli è
falso perché contiene una contraddizione. Mi auguro che chi ha avuto la pazienza di seguirmi nelle operazioni
di calcolo concordi con me sul fatto che tutto quadra perfettamente. Non c’è proprio alcun paradosso. Mi
auguro di tutto cuore che non sia necessario spendere altre parole su questo tema, anche se alcuni ostinati
antirelativisti si sentiranno comunque obbligati a formulare le loro obiezioni ai miei calcoli.