Emissione di Radiazione da Particelle Cariche in Moto Relativistico
Una visione personale
Michele Castellano
LNF-INFN
(19/09/2007)
1 – Premessa
Queste pagine non sono un libro di testo e non hanno alcuna pretesa di essere esaustive neĠ formalmente ineccepibili.
La loro lettura, inoltre, presuppone una conoscenza non solo superficiale dei processi radiativi come illustrati in qualunque buon libro di testo di elettromagnetismo classico, ad esempio il Capitolo 14 di
J.D. Jackson – Classical Electrodynamics – John Wiley & Sons
di cui seguiroĠ in gran parte la notazione.
LĠobiettivo che mi propongo eĠ invece di dare delle spiegazioni intuitive a certi fenomeni in modo da renderne piuĠ facilmente comprensibili le conseguenze. Per ottenere questo risultato, partiroĠ da semplificazioni che risultano sostanzialmente corrette per condizioni particolari su alcuni parametri, condizioni che trovano peroĠ ampia corrispondenza nelle sitazioni sperimentali di interesse. Queste descrizioni intuitive possono essere quindi usate direttamente per ottenere risultati quantitativi in un ampio range di situazioni, ma permettono in ogni caso di capire meglio il fenomeno anche quando per una corretta valutazione quantitativa ci si deve rivolgere alle equazioni piuĠ generali.
La maggior parte degli esempi discussi deriva dalla misura ed utilizzo di fasci di elettroni relativistici, anche se ci saraĠ qualche deviazione in settori diversi.
2 - Introduzione
Il campo elettromagnetico generato da una particella puntiforme carica in moto relativistico eĠ dato dai potenziali ritardati di Lienard-Wiechert:
in cui il suffisso ÒretÓ sta ad indicare che il contenuto delle parentesi deve essere valutato ad un tempo tĠ=t-R/c ed in cui
Da questi potenziali si possono ricavare i campi in forma esplicita, di cui una versione particolarmente utile eĠ la seguente, con le stesse notazioni precedenti:
(1)
Il primo termine del secondo membro della (1) rappresenta il campo coulombiano di una particella in moto uniforme, senza alcuna parte radiativa. Il secondo termine invece descrive la parte radiativa determinata dalla presenza di unĠaccelerazione della particella.
Queste equazioni sono ben conosciute, come pure tutte le derivazioni che si possono fare dalle stesse nei vari casi pratici, e sono di valore generale.
Il partire peroĠ da queste equazioni, anche se corrette, tende a mettere in particolare evidenza la dipendenza dellĠirraggiamento elettromagnetico dalla dinamica della particella carica, facendo dimenticare una condizione essenziale per la loro validitaĠ, e cioeĠ che il moto della particella si svolga nel vuoto, in modo che nessuna parte del suo campo venga in contatto con altre particelle o mezzi materiali. Questa condizione eĠ sempre espressa esplicitamente nei libri di testo, ma puoĠ venire facilmente ignorata se lĠattenzione si concentra esclusivamente sul moto della particella carica.
In realtaĠ un processo radiativo eĠ sempre dovuto ad una discontinuitaĠ (variazione) del campo e.m. della particella, ed eĠ questa discontinuitaĠ la sorgente stessa del campo radiante.
Guardando quindi al campo, alla sua discontinuitaĠ come sorgente di un nuovo campo in evoluzione libera, cioeĠ sganciato dal vincolo della dinamica della particella, si possono avere delle visioni qualitative molto intuitive del processo di irraggiamento, e spesso anche molto accurate quantitativamente. Assumendo il campo come punto di partenza, eĠ anche facile tener conto delle situazioni in cui il moto della particella non si svolga nel vuoto o siano presenti materiali con cui il campo stesso interagisce, anche se non sono sulla traiettoria della particella.
Questa eĠ la cosiddetta Òapprossimazione di Weizsacker-WilliamsÓ o dei fotoni virtuali, e consiste nel considerare il campo di una particella come sovrapposizione di ÒpseudoÓ onde piane di diversa frequenza (fotoni).
Una descrizione dettagliata del metodo e dei suoi limiti di validitaĠ eĠ reperibile su qualunque testo avanzato di Elettromagnetismo. Io mi limiteroĠ a sottolineare alcuni aspetti che saranno utili nel seguito.
Una prima osservazione, abbastanza ovvia ma che merita di essere sottolineata, eĠ che una carica in quiete genera, per un osservatore qualsiasi, un campo elettrico indipendente dal tempo, e che quindi non ha alcun contenuto in frequenza tranne quello a w=0.
Se invece la carica q eĠ in moto rettilineo uniforme rispetto allĠosservatore, posto ad una distanza b dalla direzione di moto, il campo elettrico avvertito saraĠ dipendente dal tempo, e quindi con un contenuto di frequenze, generando nel contempo anche un campo magnetico. In particolare, per effetto relativistico, le linee di forza del campo verranno deformate come mostrato in Fig. 1, concentrandosi sempre di piuĠ intorno alla direzione trasversa al moto allĠaumentare della velocitaĠ della particella, o meglio di g.
La struttura temporale della componente trasversa e longitudinale del campo avvertito dallĠosservatore eĠ poi mostrata in Fig. 2.
Fig. 1 – Distribuzione delle linee di forza del campo elettrico per una carica ferma e per una carica in moto rettilineo uniforme (g=3, E=1 MeV per un elettrone)
Fig. 2 – Distribuzione temporale dellĠimpulso elettrico, rispettivamente la componente trasversa e quella longitudinale, sentito da un osservatore a distanza b dalla traiettoria di una particella di carica q e fattore relativistico g [Da Jackson op. cit.].
Dalla Fig. 2 si vede che lĠintensitaĠ massima del campo trasverso cresce con g, mentre la sua durata diminuisce, mantenendo costante lĠarea. Il campo longitudinale ha integrale zero, ampiezza massima costante e durata decrescente con lĠenergia.
La forma analitica dei campi eĠ data da:
(2)
In cui r eĠ la distanza dalla traiettoria della particella di carica q e velocitaĠ v.
Il campo Bt eĠ trasverso sia alla velocitaĠ della particella che al campo elettrico Et.
Per energie relativistiche, quindi, il campo totale tende ad essere un campo trasversale alla direzione di moto della carica e composto da un campo elettrico ed uno magnetico ortogonali lĠuno allĠaltro. Una specie di onda elettromagnetica piana, ma con alcuni aspetti che la differenziano sostanzialmente dalla classica onda piana.
La trasformata di Fourier del campo elettrico trasversale dato dalla (2) eĠ infatti:
In cui K1 eĠ la funzione di Bessel modificata di prima specie di ordine 1, detta anche funzione di Hankel.
Questa funzione, nella sua dipendenza dalla distanza dalla
traiettoria, ha una divergenza del tipo 1/r,
per cui lĠandamento dellĠintegrale del campo 
in funzione
di x=
,
normalizzata al totale, ha lĠandamento di Fig 3.
Fig. 3 –
Frazione del campo elettrico contenuta in un raggio x=
da cui risulta che il 50% del campo eĠ contenuto nel raggio
x=1, cioeĠ 
.
Mentre piuĠ del 95% eĠ contenuto nel raggio 
.
In altre parole, il campo ad una certa lunghezza dĠonda eĠ tanto piuĠ esteso trasversalmente quanto maggiore eĠ lĠenergia, ma a paritaĠ di energia la sua estensione eĠ proporzionale alla lunghezza dĠonda.
Inoltre questa Òonda elettromagneticaÓ viaggia legata alla particella, e quindi con velocitaĠ v, e non c, nella direzione di moto della particella stessa.
Tenendo conto di questa evoluzione, il capo elettrico in tutto lo spazio, puoĠ essere scritto come:
(3)
In coordinate cartesiane, utili quando la geometria non eĠ a simmetria assiale, si ha semplicemente
(4)
Se si considera questa onda come composta di Òfotoni
virtualiÓ, di energia 
,
bisogna anche considerare che, data la sua estensione limitata nel piano
trasverso, la direzione dei suddetti fotoni non puoĠ essere limitata alla
direzione di propagazione dellĠonda, ma avranno necessariamente una componente
trasversale. Effettuando una trasformata della (4) nel campo degli impulsi
trasversi dei fotoni virtuali, in generale il campo elettrico di una particella
carica in moto rettilineo uniforme si puoĠ scrivere come:
(5)
del tutto equivalente alla (4).
Questa approssimazione del campo di una particella in moto uniforme, descritto dalle (4) e (5), eĠ sufficiente per capire moltissimi fenomeni di generazione di radiazione elettromagnetica, specialmente nellĠinterazione con delle condizioni al contorno.
Gli altri capitoli:
3 - La Bremsstrahlung istantanea