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Gli argomenti di Zenone contro il movimento e la divisibilità 
scheda di approfondimento
di Marco Giunti



La tradizione ci tramanda almeno sei argomentazioni attribuite a Zenone. Il fine di questi argomenti è la difesa della posizione Parmenidea secondo cui la vera realtà può essere colta soltanto attraverso la riflessione razionale. Il ragionamento, se condotto rigorosamente, ci porta a riconoscere che le convinzioni basate sulla nostra esperienza sono illusorie. In particolare, l'attenzione di Zenone si concentra su due "illusioni" particolarmente radicate in ognuno di noi : la convinzione che il movimento esista e la credenza nella divisibilità, cioè che ogni cosa possa essere divisa in parti, le une distinte dalle altre. Delle sei argomentazioni, quattro sono contro il movimento e due contro la divisibilità.

I quattro argomenti contro il movimento sono :

  1. L'argomento della freccia
  2. L'argomento delle masse nello stadio
  3. L'argomento di Achille e la Tartaruga
  4. L'argomento dello stadio
I due argomenti contro la divisibilità sono :
  1. L'argomento della grandezza
  2. L'argomento del numero
Gli argomenti di Zenone sono stati spesso sottovalutati nella storia della filosofia, e ridotti al rango di meri artifici retorici volti a difendere in modo più o meno capzioso le posizioni di Parmenide. In realtà, non è affatto così. Le sei argomentazioni, se analizzate attentamente, hanno invece un significato molto profondo per almeno quattro problemi relativi a concetti fondamentali delle fisica e della matematica. In particolare:
  1. l'argomento della freccia (1.) mette in luce un problema relativo alla definizione precisa del concetto di movimento;
  2. l' argomento delle masse nello stadio (2.) solleva il problema della relatività o assolutezza del concetto di velocità;
  3. gli argomenti di Achille e la tartaruga, dello stadio e quello della grandezza (3., 4. e 5.) pongono il problema della somma infinita di grandezze finite;
  4. infine, l'argomento del numero (6.) pone il problema dell'applicabilità o meno del concetto di numero ad insiemi infiniti.
I primi due problemi (a. e b.) riguardano i fondamenti della fisica e, in particolare, della cinematica. I secondi due (c. e d.) quelli della matematica. Più specificamente, il problema (c.) è uno dei problemi fondamentali del calcolo infinitesimale, mentre il problema (d.) è alla base della teoria dei numeri cardinali transfiniti. (Teoria elaborata dal grande matematico tedesco Georg Cantor soltanto alla fine dell'ottocento. Di essa è parte integrante il teorema di Cantor.)

Le sei argomentazioni di Zenone hanno tutte la stessa forma logica. Esse sono riduzioni all'assurdo, cioè tendono a confutare la posizione dell'avversario assumendola inizialmente come vera e facendo poi vedere con un ragionamento che da quell'ipotesi segue una contradizione. Ne consegue quindi che l'ipotesi iniziale deve essere rifiutata. La forma delle argomentazioni Zenoniane è derivata da un metodo di dimostrazione molto comune in matematica : la dimostrazione per assurdo. Un'importante esempio di dimostrazione per assurdo in matematica è la prova dell'incommensurabilità fra il lato e la diagonale di un quadrato, già nota ai Pitagorici (e quindi, probabilmente, anche a Zenone).

La riduzione all'assurdo è un tipo di argomentazione che procede nel seguente modo. Si parte da una o più ipotesi I1, I2, ... , In. Ragionando a partire da queste ipotesi, si deducono una serie di conseguenze, fino ad arrivare a due conseguenze, C, e nonC, che sono l'una la negazione dell'altra. Si dimostra, cioè la contradizione C e nonC che, come tutte le contradizioni, è necessariamente falsa. Siccome le ipotesi implicano una falsità, almeno una delle ipotesi di partenza deve essere falsa. Si analizzano quindi tali ipotesi e si rigettano quelle che sono più probabilmente false.

Nel caso particolare in cui la riduzione all'assurdo parta da una sola ipotesi, si ha la dimostrazione per assurdo. In tal caso, infatti siamo certi che la contradizione che abbiamo dedotto deriva dall'unica ipotesi su cui la prova si basa. Quindi, tale ipotesi è certamente falsa, o il che è lo stesso, la sua negazione è vera.

In generale, la differenza fra un'argomentazione e una dimostrazione è la seguente : un'argomentazione è un qualunque ragionamento con cui si vuole sostenere una tesi (conclusione) partendo da un insieme di premesse. La dimostrazione, invece, è un'argomentazione valida deduttiva le cui premesse sono tutte vere. Le dimostrazioni sono le uniche forme di ragionamento accettate in matematica. La filosofia e le scienze empiriche, invece, si basano sia su dimostrazioni che su argomentazioni valide induttive con premesse vere.

Presento qui sotto una versione di ciascuno dei sei argomenti di Zenone. A ciascuna di tali versioni ho poi aggiunto un'analisi dell'argomento, che ne mette in luce le implicazioni per i fondamenti della fisica o della matematica.
 

1. L'argomento della freccia

L'argomento si propone di dimostrare che il movimento non esiste. Esso è una riduzione all'assurdo e parte quindi dall'ipotesi dell'esistenza del movimento per arrivare a dedurre una contradizione.

IPOTESI DELL'ESISTENZA DEL MOVIMENTO


I osservazione

la freccia si muove :

ovvio, perché, per ipotesi, la freccia è in movimento.


II osservazione

ad ogni istante, la freccia è in una posizione ben determinata :

se un corpo si muove, ad ogni istante, esso è in una posizione ben determinata ;
ma sappiamo che la freccia si muove ;
dunque, ad ogni istante, la freccia è in una posizione ben determinata.


la freccia non si muove :

se, ad ogni istante, un corpo è in una posizione ben determinata, esso non si muove ;
ma abbiamo appena provato che, ad ogni istante, la freccia è in una posizione ben determinata ;
dunque, la freccia non si muove.


Conclusione

Siamo dunque giunti ad una contradizione. Abbiamo infatti provato che la freccia si muove e non si muove. Questo assurdo è una conseguenza necessaria dell'ipotesi dell'esistenza del movimento. Dunque, siccome tale ipotesi implica una contradizione, essa è falsa. Dobbiamo quindi arrivare alla conclusione che nessun corpo in movimento può esistere ! ! !
 

Analisi dell'argomento della freccia

Si noti che questo argomento è perfettamente generale e non dipende in alcun modo dal tipo di corpo (freccia) considerato. Se l'argomento è accettabile, dobbiamo quindi concludere, con Zenone e Parmenide, che il movimento è un'illusione dei nostri sensi. Infatti, la ragione ci ha appena dimostrato che il movimento non esiste ! ! !

Questa conclusione è certamente difficile da accettare. Prima di seguire Parmenide e Zenone nella loro negazione del movimento, dovremmo essere completamenti certi che il ragionamento fatto sia corretto. In particolare, essendo una riduzione all'assurdo, dobbiamo domandarci quali sono le ipotesi su cui l'argomento si basa. Una è certamente l'ipotesi dell'esistenza del movimento. Ma, se ce ne fossero altre, non potremmo concludere con certezza che proprio quell'ipotesi è falsa. Infatti, la fonte della contradizione potrebbe essere una delle altre ipotesi.

In effetti, se consideriamo con attenzione l'argomento della freccia, ci rendiamo conto che esso si basa su altre due ipotesi  che sono implicitamente assunte come vere nel primo e nel secondo passo della II osservazione. Tali ipotesi sono le seguenti:

IPOTESI DELLA POSIZIONE DETERMINATA

IPOTESI DELLA QUIETE l'ipotesi della quiete può anche essere espressa in una forma equivalente : Dunque, l'analisi dell'argomento della freccia ci porta ad una prima conclusione. Esso non è basato su una sola ipotesi, bensì su tre: l'ipotesi dell'esistenza del movimento, l'ipotesi della posizione determinata e l'ipotesi della quiete. La contradizione che la freccia si muove e non si muove segue dall'insieme di queste tre ipotesi. Ciò implica che almeno una delle tre ipotesi è falsa. Il problema, dunque, è proprio quello di stabilire quale delle tre sia falsa.

Per Zenone e Parmenide non ci sono dubbi. L'ipotesi da rigettare è quella dell'esistenza del movimento. In effetti, sia l'ipotesi della posizione determinata che quella della quiete sembrano pienamente giustificate dalla nostra concezione intuitiva del movimento. Da un lato, sembra ineccepibile affermare che, preso un istante qualunque, un corpo in movimento occupa in quell'istante una posizione ben determinata (ipotesi della posizione determinata). Dall'altro, però, sembra altrettanto vero affermare che, se in ogni istante il corpo è esattamente in una posizione, allora non c'è mai alcun istante in cui si muove, e dunque esso è fermo (ipotesi della quiete). Accettando queste due ipotesi, Parmenide e Zenone concludono coerentemente che il movimento non esiste ! ! !

Noi non siamo così radicali nel seguire Zenone fino all'estrema conseguenza del rifiuto dell'esistenza stessa del movimento. D'altra parte, però, non possiamo neanche non prendere sul serio la difficoltà messa in luce dall'argomento di Zenone. Se accettiamo la nostra concezione intuitiva del movimento, dobbiamo accettare sia l'ipotesi della posizione determinata che quella della quiete e, per superare la contradizione posta in luce dall'argomento della freccia, arriviamo necessariamente a negare l'esistenza del movimento. Dunque, non possiamo preservare l'esistenza del movimento se prima non modifichiamo la nostra concezione intuitiva di tale concetto. Tale modifica del concetto intuitivo di movimento si è compiuta soltanto con l'affermazione della fisica moderna. La soluzione comunemente accettata dalla fisica moderna consiste nel rigettare l'ipotesi secondo cui, se un corpo ha una posizione esattamente determinata ad ogni istante, esso non si muove. La fisica moderna, dunque, rigetta l'ipotesi della quiete, mentre mantiene sia l'ipotesi del movimento che quella della posizione determinata.

Ma allora, secondo la fisica moderna, che senso ha dire che un corpo si muove? Chiaramente, avendo rigettato il principio della quiete, non possiamo più pensare che la posizione di un corpo che si muove non sia esattamente determinata ad ogni istante. La soluzione accettata dalla fisica moderna consiste nell'introduzione di una nuova ipotesi che modifica e sostituisce l'ipotesi della quiete. Questa nuova ipotesi può essere espressa nel seguente modo :

NUOVA IPOTESI DELLA QUIETE

la nuova ipotesi della quiete può anche essere espressa nella forma equivalente : Secondo questa nuova ipotesi il movimento o la quiete di un corpo non dipendono dal fatto che ci siano o meno istanti in cui il corpo non ha una posizione fissa. Piuttosto, il movimento o la quiete dipendono dal tipo di relazione che vale fra gli istanti e le posizioni del corpo.

Concludendo, possiamo sintetizzare la discussione precedente nel seguente modo.

L'argomento di Zenone fa vedere che la congiunzione di tre proposizioni è contradittoria. Queste tre proposizioni sono : (1) l'ipotesi dell'esistenza del movimento; (2) l'ipotesi della posizione determinata ; (3) l'ipotesi della quiete. Zenone risolve la contradizione rigettando (1) e concludendo quindi che il movimento non esiste.

La fisica moderna risolve la contradizione posta in luce dall'argomento di Zenone in modo diverso. Essa, a differenza di Zenone, non rigetta l'ipotesi dell'esistenza del movimento, bensì quella della quiete. Per far questo, però, è necessario dare una nuova definizione del movimento (nuova ipotesi della quiete) che prenda il posto della vecchia ipotesi. La nuova ipotesi, quindi, elimina e sostituisce la concezione intuitiva secondo cui, se un corpo è in movimento, esso, almeno in qualche istante, non può avere una posizione ben determinata.

Infine, è interessante menzionare il fatto che la contradizione messa in luce dall'argomento di Zenone può in effetti essere risolta anche in un terzo modo. Questa terza possibilità consiste nel rigettare l'ipotesi della posizione determinata, mantenendo sia quella della quiete che quella dell'esistenza del movimento. Tuttavia essa, implicando l'abbandono dell'idea che un corpo in movimento abbia una posizione ben determinata ad ogni istante, presuppone l'uso di strumenti logico-matematici alquanto sofisticati (logica fuzzy) la cui esposizione va al di là dei limiti di queste note.
 

2. L'argomento delle masse nello stadio

L..........

I......

Analisi dell'argomento delle masse nello stadio

N............
 

3. L'argomento di Achille e la Tartaruga

L'argomento, come quello della freccia, si propone di dimostrare l'impossibilità del movimento. Eccone sotto una versione.

IPOTESI DELLA CORSA DI ACHILLE E LA TARTARUGA

  1. Esistono un istante t ed una posizione x tali che, nell'istante t e nella posizione x, Achille raggiunge la Tartaruga:
    1. ciò è ovvio.  Infatti, per l'ipotesi della corsa di Achille e la Tartaruga, Achille, nella sua rincorsa, è più veloce della Tartaruga. Ne segue che ci devono essere un istante t ed una posizione x in cui Achille raggiunge la tartaruga.
  2. Tuttavia, prima che Achille raggiunga la Tartaruga, è necessario che egli passi dal punto di partenza della Tartaruga, x1. Dunque, prima di raggiungere la Tartaruga, Achille avrà coperto certamente la distanza Dx1 in un certo tempo Dt1. Ma, una volta coperta questa distanza e impiegato questo tempo, la tartaruga sarà in un altro punto, sia esso x2, ancora avanti ad Achille. Dunque, per raggiungere la Tartaruga, Achille dovrà passare da questo punto. Egli perciò, prima di raggiungere la Tartaruga, avrà coperto anche la distanza Dx2 in un certo tempo Dt2. Ovviamente, però, una volta raggiunto il punto x2, la tartaruga sarà ancora avanti ad Achille, in un altro punto x3, e così via:
    1. ovvio, tutto il ragionamento segue dall'ipotesi della corsa di Achille e la Tartaruga.
  3. Dunque, siccome sappiamo che Achille raggiunge la Tartaruga nella posizione x, la distanza finita Dx fra tale posizione ed il punto di partenza di Achille dovrà essere uguale alla somma di tutte le distanze percorse da Achille per raggiungere la Tartaruga, cioè, Dx = Dx1 + Dx2 + ... + Dxn+ ... :
    1. ciò segue dal punto 1. e dal punto 2.
  4. Inoltre, siccome sappiamo che Achille raggiunge la Tartaruga nell'istante t, l'intervallo finito di tempo Dt trascorso fra tale istante e l'istante di partenza di Achille dovrà essere uguale alla somma di tutti i tempi impiegati da Achille per raggiungere la Tartaruga, cioè, Dt = Dt1 + Dt2 + ... + Dtn+ ... :
    1. anche questo segue dal punto 1. e dal punto 2.
  5. Ma la somma Dx1 + Dx2 + ... + Dxn+ ... , essendo costituita da infiniti addendi, ciascuno dei quali contribuisce al totale per una certa quantità finita, deve dare come risultato una quantità infinita ¥ :
    1. ciò è ovvio, perché la somma di un numero infinito di quantità finite è sempre uguale ad una quantità infinita.
  6. Inoltre, anche la somma Dt1 + Dt2 + ... + Dtn+ ... ,  essendo costituita da infiniti addendi, ciascuno dei quali contribuisce al totale per una certa quantità finita, deve dare come risultato una quantità infinita ¥ :
    1. ciò è ovvio, perché la somma di un numero infinito di quantità finite è sempre uguale ad una quantità infinita.


Conclusione

Siamo dunque giunti ad una doppia contradizione. Infatti, il punto 5. contraddice il punto 3., ed il punto 6. contraddice il punto 4. Questo doppio paradosso è una conseguenza necessaria dell'ipotesi della corsa di Achille e la Tartaruga. Dunque, dobbiamo concludere che tale ipotesi è falsa. Ciò significa che non può esistere alcuna coppia di corpi, A e T, tali che essi soddisfino le condizioni (i) e (ii) di detta ipotesi.
 

Analisi dell'argomento di Achille e la Tartaruga

Notiamo prima di tutto che l'argomento di Achille e la Tartaruga, pur essendo diretto contro il movimento come quello della freccia, è in effetti leggermente meno generale di quest'ultimo. La sua conclusione, infatti, non ci dice che non esistono corpi in movimento (conclusione dell'argomento della freccia) ma, più limitatamente, che non può esistere nessuna coppia di corpi distinti che si muovono nella stessa direzione e verso, ma con velocità diverse.  Sebbene, a rigore, questa conclusione sia compatibile con l'esistenza del movimento, essa impone tuttavia ai sostenitori della realtà del movimento l'onere di spiegare per quale ragione soltanto alcuni tipi di movimento, e non tutti, siano possibili. In mancanza di una tale spiegazione, sembra molto più ragionevole la posizione di Zenone e Parmenide che, negando l'esistenza stessa del movimento, non devono neanche tentare di risolvere un problema così spinoso. Possiamo dunque affermare che, nonostante la sua minor generalità, anche l'argomento di Achille e la Tartaruga porta un forte sostegno alla tesi di Parmenide dell'inesistenza del moto.

Chiarito questo punto, domandiamoci però se davvero l'argomento di Achille e la Tartaruga ci imponga di rigettare l'ipotesi della corsa, o se, invece, esso si basi implicitamente anche su altre ipotesi a cui può essere imputato il paradosso. Se ripercorriamo attentamente tutti i passaggi dell'argomento, ci rendiamo subito conto che la deduzione dei punti 5. e 6. si basa su un'ulteriore ipotesi, secondo cui, la somma di un numero infinito di quantità finite è sempre uguale ad una quantità infinita. Enunciamo questa ipotesi in modo esplicito e diamole un nome:

IPOTESI DELLA DIVERGENZA DELLA SOMMA INFINITA

Questa ipotesi è profondamente radicata nella nostra concezione intuitiva, o prescientifica, del concetto di somma infinita. In effetti, se consideriamo una somma costituita da un numero infinito di addendi, ciascuno dei quali contribuisce al totale per una certa quantità finita, sembra naturale concludere che il risultato debba necessariamente essere infinito. L'esempio più semplice che può essere portato a supporto di questa intuizione è quello della somma infinita: 1 + 1 + 1 +  ...  Essa, ovviamente, diverge, cioè dà un risultato infinito; e lo stesso accadrebbe se ogni addendo non fosse uguale all'unità, ma ad un qualsiasi numero e piccolo a piacere.

Tuttavia, non sempre le cose sono così semplici. Consideriamo, per es., la somma infinita: 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2n + ... In essa, a differenza degli esempi precedenti, non tutti gli addendi sono uguali, ma anzi il successivo è sempre la metà del precendente. In questo caso, non è poi così ovvio che la somma debba necessariamente dare un risultato infinito. In effetti, con un attimo di riflessione, ci rendiamo conto che il risultato in miglior accordo con la nostra intuizione è 2 (calcolando la somma per un numero crescente di addendi, verifichiamo facilmente che la successione di tali somme parziali si avvicina costantemente a 2, senza mai superare questo limite).

Queste considerazioni sono sufficienti per concludere che l'ipotesi della divergenza della somma infinita è molto probabilmente falsa. Ne segue che la doppia contradizione messa in luce dall'argomento di Achille e la Tartaruga può essere risolta rigettando tale ipotesi e mantenendo quella della corsa. (Abbiamo visto che Zenone, al contrario, risolve il paradosso nel modo opposto: egli mantiene l'ipotesi della divergenza della somma infinita e rigetta quella della corsa.)

Tuttavia, se scegliamo la strada di rigettare l'ipotesi della divergenza della somma infinita, ci troviamo immediatamente di fronte all'ulteriore problema di stabilire esattamente in quali casi una somma infinita dà un risultato finito (converge), in quali dà un risultato infinito (diverge) e, infine,  in quali (se tali casi esistono) non dà alcun risultato (è indeterminata, cioè non converge né diverge).

Questo problema è stato completamente risolto soltanto nella prima metà dell'ottocento, con un'adeguata formulazione della teoria delle serie numeriche (cioè, delle somme con un numero infinito di addendi), specialmente ad opera del grande matematico francese Augustine Cauchy (1789-1857). Questa teoria costituisce una parte piuttosto importante del calcolo infinitesimale (altrimenti detto analisi matematica). In particolare, la trattazione delle serie numeriche presuppone la definizione del concetto di limite di una successione, definizione la cui formulazione precisa contribuì in modo decisivo alla fondazione logicamente rigorosa dell'analisi matematica, avvenuta nella prima metà dell'ottocento ad opera di Gauss, Abel, Cauchy ed altri.
 

4. L'argomento dello stadio

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I......

Analisi dell'argomento dello stadio

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5. L'argomento della grandezza

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I......

Analisi dell'argomento della grandezza

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6. L'argomento del numero

L'argomento si propone di dimostrare che l'ipotesi della divisibilità di tutte le cose è contradittoria. Tale ipotesi era alla base della teoria dei semi (o omeomerie) di Anassagora (filosofo contemporaneo di Zenone). L'argomento del numero può quindi essere interpretato come una confutazione diretta delle posizioni di Anassagora. Esso, però, può anche essere interpretato come un argomento a parziale supporto della posizione parmenidea che affermava l'unità di tutte le cose (o, il che è lo stesso, l'inesistenza della pluralità). Infatti esso, eliminando la posizione di Anassagora, incompatibile con quella parmenidea, rafforza indirettamente quest'ultima. Tuttavia, l'argomento del numero non può essere interpretato come una riduzione all'assurdo dell' ipotesi dell'esistenza della pluralità. (Esso, infatti, riduce all'assurdo soltanto l'ipotesi della divisibilità di tutte le cose, e ciò è pur sempre compatibile con l'esistenza di molte cose ¾ basta soltanto ammettere che alcune di esse siano indivisibili.)

Come detto, l'argomento del numero parte dall'ipotesi della divisibilità di tutte le cose e si propone di dedurne una contradizione. Ecco qui sotto una versione di tale argomento. Questa versione non è probabilmente la più fedele dal punto di vista storico ma, a mio giudizio, ne coglie certamente lo spirito.

IPOTESI DELLA DIVISIBILITA' DI TUTTE LE COSE

  1. Consideriamo una qualunque cosa x;
  2. dividiamo x in due parti, x1 e x2, ciascuna di esse in altre due parti, x1,1 e x1,2 , x2,1 e x2,2 , e poi continuiamo indefinitamente questo processo di divisione di ciascuna delle parti ottenute. Si noti che la possibilità di operare questo processo di divisione è assicurata dall'ipotesi assunta;
  3. consideriamo adesso l'insieme i cui elementi sono x e tutte le parti di x ottenute con il processo di divisione descritto al punto 2;
  4. l'insieme X, per la sua costruzione, è infinito;
  5. consideriamo ora anche l'insieme X1  i cui elementi sono x1 e tutte le parti di x1ottenute con il processo di divisione descritto al punto 2;
  6. anche l'insieme X1, per la sua costruzione, è infinito.


I osservazione

X1 ha un numero di elementi minore del numero di elementi di X :

ciò è ovvio, perché tutti gli elementi di X1 sono anche elementi di X, ma ci sono elementi di X (per es. x) che non sono elementi di X1.


II osservazione

X1 ha un numero di elementi uguale al numero di elementi di X :

anche questo è ovvio. Infatti, gli elementi di X sono: x; x1 e x2; x1,1 e x1,2 , x2,1 e x2,2; ... e quindi in tutto essi sono 1 + 2 + 4 + ... D'altra parte, gli elementi di X1 sono: x1; x1,1 e x1,2 ; x1,1,1 e x1,1,2 , x1,2,1 e x1,2,2 ; ... e quindi in tutto sono anch'essi 1 + 2 + 4 + ... Dunque, X1 ha lo stesso numero di elementi di X.


Conclusione

Siamo dunque giunti ad una contradizione. Abbiamo infatti provato che, nello stesso tempo, X1 ha un numero di elementi minore e uguale al numero di elementi di X. Dobbiamo quindi rigettare l'ipotesi di partenza e concludere che è falso che tutte le cose siano divisibili.
 

Analisi dell'argomento del numero

Anche in questo caso, si tratta di vedere prima di tutto se, oltre all'ipotesi della divisibilità di tutte le cose, l'argomento non ne utilizzi implicitamente anche altre.

Notiamo subito che il ragionamento su cui si basa la I osservazione presuppone in realtà la seguente ipotesi:

IPOTESI DEL SOTTOINSIEME PROPRIO

Notiamo inoltre che il ragionamento su cui si basa la II osservazione non fa altro che mettere in luce l'esistenza di una corrispondenza biunivoca fra X e X1 e, sulla base di questo, conclude quindi che i due insiemi hanno lo stesso numero di elementi. Tale ragionamento presuppone perciò la seguente ipotesi:

IPOTESI DELLA CORRISPONDENZA BIUNIVOCA

Dunque, l'analisi dell'argomento del numero ci porta ad una prima conclusione. Esso non è basato su una sola ipotesi, bensì su tre: l'ipotesi della divisibilità di tutte le cose, l'ipotesi del sottoinsieme proprio e l'ipotesi della corrispondenza biunivoca. La contradizione che, nello stesso tempo, X1 ha un numero di elementi minore e uguale del numero di elementi di X segue dall'insieme di queste tre ipotesi. Ciò implica che almeno una delle tre ipotesi è falsa. Il problema, dunque, è proprio quello di stabilire quale delle tre sia falsa.

Secondo Zenone, l'ipotesi da rigettare è quella della divisibilità di tutte le cose. In effetti, sia l'ipotesi del sottoinsieme proprio che quella della corrispondenza biunivoca sembrano pienamente giustificate dalla nostra concezione intuitiva del numero. Da un lato, sembra ineccepibile affermare che, dati due insiemi qualunque A e B, se A è sottoinsieme proprio di B, allora A ha un numero di elementi minore di B.  Dall'altro, però, sembra altrettanto vero affermare che, se c'è una corrispondenza biunivoca fra A e B, allora A ha lo stesso numero di elementi di B. Accettando queste due ipotesi così radicate nella nostra intuizione del numero, Zenone conclude coerentemente che il problema deve ricondursi all'ipotesi della divisibilità di tutte le cose.

E' tuttavia lecito domandarsi se davvero la colpa sia di quell'ipotesi. Che le cose non stiano così è dimostrato dal fatto che possiamo dedurre essenzialmente la stessa contradizione anche senza assumere l'ipotesi della divisibilità di tutte le cose.

Consideriamo infatti l'insieme di tutti i numeri naturali N = {1, 2, 3, 4, ...} e l'insieme di tutti i numeri dispari D = {1, 3, 5, 7, ...}. Siccome D è un sottoinsieme proprio di N, per l'ipotesi del sottoinsieme proprio, D ha un numero di elementi minore di quello di N. D'altra parte, c'è anche una corrispondenza biunivoca fra N e D (una tale corrispondenza è quella che al numero n associa 2n - 1), e quindi, per l'ipotesi della corrispondenza biunivoca, D ha un numero di elementi uguale a quello di N.
Con l'argomento appena presentato, abbiamo dedotto essenzialmente la stessa contradizione trovata con l'argomento del numero ma, questa volta, non abbiamo utilizzato l'ipotesi della divisibilità di tutte le cose. Dunque, il vero responsabile di tale contradizione non può essere questa ipotesi.

Prima di procedere oltre, soffermiamoci un attimo per valutare a pieno la portata del problema che stiamo considerando. Domandiamoci in particolare se saremmo stati in grado di dedurre la stessa contradizione anche se, invece dei due insiemi infiniti  N e D (oppure X e X1 dell'argomento originale del numero) avessimo considerato due qualunque insiemi finiti F e F1 uno dei quali, per es. F1, sia sottoinsieme proprio di F. Con un attimo di riflessione, ci rendiamo subito conto che, in questo caso, il problema non può porsi, perché nessun insieme finito può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. Sono soltanto gli insiemi infiniti che presentano la caratteristica di poter essere messi in corrispondenza biunivoca con un loro sottoinsieme proprio. Ma allora, nel caso di un insieme infinito, sia l'ipotesi della corrispondenza biunivoca che quella del sottoinsieme proprio si applicano contemporaneamente, e otteniamo così una contradizione.

In effetti, la contradizione che abbiamo dedotto è assolutamente generale. Infatti, un insieme infinito, in matematica, è usualmente definito come un insieme tale che esiste una corrispondenza biunivoca fra esso ed un suo sottoinsieme proprio (tale definizione è dovuta a Dedekind, 1888).

Data questa definizione di insieme infinito (1), per dedurre il paradosso del numero è allora sufficiente assumere inoltre: (2) l'esistenza di almeno un insieme infinito (ipotesi dell'infinito); (3) l'ipotesi della corrispondenza biunivoca; (4) l'ipotesi del sottoinsieme proprio. E' dalla congiunzione di queste quattro premesse che deduciamo immediatamente una contradizione. Dunque, il problema è quello di stabilire quale di esse debba essere rigettata.

Esercizio: dimostrare che dalle quattro assunzioni specificate sopra segue il paradosso del numero.

E' anche importante notare che, finché questo problema non sia risolto, non possiamo sperare di poter applicare in modo consistente il concetto di numero ad insiemi infiniti. Dunque, una teoria dei numeri infiniti (o, usando una terminologia matematicamente più corretta, transfiniti) deve necessariamente partire da una soluzione del paradosso del numero.

Tale soluzione ci è in effetti fornita dalla teoria dei numeri cardinali transfiniti, elaborata dal grande matematico tedesco Georg Cantor verso la fine dell'ottocento. La soluzione prospettata da tale teoria consiste:

  1. nell'assumere la definizione di insieme infinito data sopra: un insieme è infinito sse esiste una corrispondenza biunivoca fra esso ed un suo sottoinsieme proprio;
  2. nell'accettare l'ipotesi dell'infinito: esiste almeno un insieme infinito;
  3. nell'accettare l'ipotesi della corrispondenza biunivoca. Più precisamente, essa viene addirittura elevata a definizione di equinumerosità fra insiemi: due insiemi hanno lo stesso numero di elementi se e solo se esiste fra loro una corrispondenza biunivoca;
  4. infine, nel rigettare l'ipotesi del sottoinsieme proprio. Tale ipotesi viene in effetti sostituita da una nuova definizione che ci dice esattamente sotto quali condizioni un insieme ha un numero di elementi minore di un altro insieme. La nuova definizione è la seguente: dati due qualunque insiemi A e B, A ha un numero di elementi minore di B se e solo se A non ha lo stesso numero di elementi di B ed esiste una corrispondenza biunivoca fra A ed un sottoinsieme proprio di B.
Si noti infine che, con queste nuove assunzioni, il paradosso del numero non può più essere dedotto. Infatti, supponendo l'esistenza di  un qualunque insieme infinito (ipotesi b.), esso, in forza di a. e c., risulta avere lo stesso numero di elementi di una sua parte propria. Tuttavia, non è vero che tale parte propria risulti anche avere un numero di elementi minore dell'insieme considerato. Infatti, in questo caso, la prima parte della definizione d. non è soddisfatta.

Prima di concludere la nostra analisi, resta forse ancora un dubbio da chiarire. Qual è il preciso rapporto fra la forma originale del paradosso (basata sull'ipotesi della divisibilità, l'ipotesi del sottoinsieme proprio e quella della corrispondenza biunivoca) e quella finale (basata sulla definizione di insieme infinito, sull'ipotesi dell'infinito, l'ipotesi del sottoinsieme proprio e quella della corrispondenza biunivoca), poi risolta dalle quattro assunzioni della teoria di Cantor? Osserviamo prima di tutto che due assunzioni (ipotesi del sottoinsieme proprio e della corrispondenza biunivoca) sono comuni alle due forme del paradosso. D'altra parte, se riconsideriamo con maggiore attenzione la prima parte dell'argomento originale, ci rendiamo conto che la definizione di insieme infinito è in essa implicitamente presupposta. Possiamo quindi affermare che anche questa assunzione è comune alle due forme del paradosso e che quindi esse differiscono soltanto per il fatto che la  forma finale sostituisce all'ipotesi della divisibilità di tutte le cose l'ipotesi dell'infinito. Se infine consideriamo ancora una volta la prima parte dell'argomento originale, ci rendiamo conto che l'ipotesi della divisibilità di tutte le cose in realtà implica l'ipotesi dell'infinito. In conclusione, l'argomento originale del numero differisce da quello finale soltanto per il fatto che esso si basa sull'ipotesi della divisibilità di tutte le cose, invece che su quella, da essa implicata, e quindi logicamente più debole, dell'infinito.
 


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