Torna alla home page


Liceo Giotto Ulivi - Dal sillogismo alla logica formale

Programma delle lezioni - Anno scolastico 1999-2000

Prof. Marco Giunti

Questo breve corso sarà articolato in quattro incontri, ognuno della durata di un'ora e mezza, a cadenza settimanale (lunedì 6 marzo, lunedì 13 marzo, lunedì 20 marzo e lunedì 27 marzo, dalle ore 14:30 alle 16:00). La logica verrà presentata come scienza degli argomenti validi e, sulla base di questa caratterizzazione, sarà sviluppato un percorso che arrivi a cogliere l'importanza e le implicazioni del problema della decidibilità della logica.
 



Lezione 1 - La logica deduttiva come scienza degli argomenti deduttivi validi

Definizione : la logica deduttiva è la scienza degli argomenti (o ragionamenti) validi deduttivi.

Esempio 1 (non valido, deduttivo) Esempio 2 (valido, induttivo) Esempio 3 (valido, induttivo) Esempio 4 (non valido, deduttivo) Esempio 5 (valido, induttivo) Esempio 6 (non valido, deduttivo) Esempio 7 (valido, deduttivo, dimostrativo) Esempio 8 (valido, deduttivo, non dimostrativo) Esempio 9 (valido, deduttivo, non dimostrativo) Esempio 10 (non valido, deduttivo) Esempio 11 (non valido, deduttivo) Esempio 12 (valido, deduttivo, dimostrativo [se espresso di giorno]) Esempio 13 (valido, deduttivo, non dimostrativo [se espresso in una notte senza luna]) Forma logica degli argomenti 10 e 11
  1. Ogni esempio è una serie di proposizioni descrittive (esprimono fatti o stati di cose, non sono comandi, né esclamazioni, né domande).
  2. In ogni esempio, c'è una proposizione che è il termine o la conclusione del ragionamento. Essa è introdotta da espressioni quali : quindi, dunque, ne segue che, etc.
  3. Le altre proposizioni sono il punto di partenza del ragionamento, o le premesse.
  4. Il rapporto implicitamente affermato fra le premesse e la conclusione è quello di implicazione : cioè, accettare le premesse impone di accettare anche la conclusione.
Definizione 0 : un argomento è un qualsiasi insieme di proposizioni descrittive di cui una sia indicata come conclusione e le altre come premesse. Definizione 1: un argomento è valido (o corretto) se, e solo se, è necessario che supponendo la verità delle premesse, anche la conclusione sia vera ; un argomento non è valido (è invalido) se, e solo se, è possibile che le premesse siano vere e la conclusione falsa. Definizione 2 : un argomento è deduttivo se, e solo se, non contiene proposizioni di tipo probabilistico. Un argomento è induttivo in caso contrario. Definizione 3 : un argomento è dimostrativo (o scientifico) se, e solo se, è valido, deduttivo, e tutte le sue premesse sono vere*.


* E' in realtà più corretto mantenere la definizione aristotelica di argomento dimostrativo ma definire gli argomenti scientifici in modo meno restrittivo, in modo da non escludere tutti gli argomenti induttivi: un argomento è scientifico se, e solo se, è valido e tutte le sue premesse sono vere. Se scegliamo questa via, allora gli argomenti dimostrativi sono gli unici ammessi dalla matematica, mentre le scienze empiriche e la filosofia ammettono solo argomenti scientifici. Problema su cui riflettere: come possiamo allora distinguere fra scienza empirica e filosofia? Evidentemente, non per il tipo di ragionamenti ammessi.

Definizione 1-bis: un argomento non è valido (o non è corretto) se, e solo se, esiste almeno un argomento che ha la sua stessa forma logica, tutte le premesse vere, e la conclusione falsa.



Lezione 2 - La formalizzazione del linguaggio come presupposto dello studio degli argomenti validi

Definizione 1-bis: un argomento non è valido (o non è corretto) se, e solo se, esiste almeno un argomento che ha la sua stessa forma logica, tutte le premesse vere, e la conclusione falsa. Definizione 1-bis: un argomento è valido (o corretto) se, e solo se, per ogni argomento che ha la sua stessa forma logica e tutte le premesse vere, anche la conclusione è vera. Esempio 14 (non valido, deduttivo) Forma comune agli esempi 10 e 14 Il linguaggio formale della logica sillogistica

* Non tutte le proposizioni categoriche hanno una corrispondente proposizione del linguaggio naturale. Infatti, tale corrispondente esiste se e sole se il linguaggio naturale possiede termini che denotano l'interpretazione assegnata ai termini della proposizione categorica. Ciò non può essere sempre vero, perché i termini del linguaggio naturale sono un'infinità numerabile, mentre le interpretazioni possibili dei termini del linguaggio sillogistico sono un'infinità non numerabile.

  I figura II figura III figura IV figura
I premessa MP PM MP PM
II premessa SM SM MS MS
conclusione SP SP SP SP
aMP
aSM
aSP

Alcuni modi hanno un nome tradizionale. Il nome di questo modo, forse il più famoso in assoluto fra i modi sillogistici, è Barbara. Il modo Barbara è, per esempio, la forma logica della seguente forma sillogistica, sillogismo, e dell'argomento corrispondente del linguaggio naturale :
 
Modo
Sillogismo
Argomento
(Barbara)
Forma sillog.
Interpretaz.
(del linguaggio naturale)
aMP aAM A = animali 

M = mortali 

tutti gli animali sono mortali
aSM aUA U = uomini 

A = animali

tutti gli uomini sono animali
aSP aUM U = uomini 

M = mortali

dunque, tutti gli uomini sono mortali

Modo
Sillogismo
Argomento
(Cesare)
Forma sillog.
Interpretaz.
(del linguaggio naturale)
      nessun uomo è bipede 
      tutte le colombe sono bipedi 
      quindi, nessuna colomba è un uomo 
Modo
Sillogismo
Argomento
(Cesare)
Forma sillog.
Interpretaz.
(del linguaggio naturale)
      tutti i gatti non sono bipedi 
      tutte le colombe sono bipedi 
      quindi, nessuna colomba è un gatto 
Modo
Sillogismo
Argomento
 
Forma sillog.
Interpretaz.
(del linguaggio naturale)
      qualche uomo è povero 
      tutti i giapponesi sono uomini 
      perciò, alcuni giapponesi non sono poveri 
Definizione 1-tris: un sillogismo è valido se, e solo se, per ogni sillogismo che ha il suo stesso modo e tutte le premesse vere, anche la conclusione è vera ; un sillogismo è invalido se, e solo se, esiste almeno un sillogismo che ha il suo stesso modo, tutte le premesse vere e la conclusione falsa. Cenni sul linguaggio formale della logica proposizionale
Forma 
Argomento proposizionale
Argomento
logica
Forma arg.
Interpretaz.
(del linguaggio naturale)
p => q g => s g = vero 

s = vero 

se è giorno, il sole è sopra l'orizzonte 
p g g = vero è giorno 
q s s = vero il sole è sopra l'orizzonte 
Forma
Argomento proposizionale
Argomento
logica
Forma arg.
Interpretaz.
(del linguaggio naturale)
p => q n => l n = vero 

l = falso 

se è notte, c'è la luna
p n n = vero è notte 
q l l = falso c'è la luna 
Forma
Argomento proposizionale
Argomento
logica
Forma arg.
Interpretaz.
(del linguaggio naturale)
p => q g => s g = falso

s = falso

se è giorno, il sole è sopra l'orizzonte 
¬q ¬s s = falso il sole non è sopra l'orizzonte 
¬p ¬g g = falso non è giorno 



Lezione 3 - La determinazione degli argomenti validi

Abbiamo visto la volta scorsa :

Oggi ripartiamo dalla definizione di sillogismo valido. Eccola di nuovo :

Definizione 1-tris: un sillogismo è valido se, e solo se, per ogni sillogismo che ha il suo stesso modo e tutte le premesse vere, anche la conclusione è vera ;

un sillogismo è invalido se, e solo se, esiste almeno un sillogismo che ha il suo stesso modo, tutte le premesse vere e la conclusione falsa.

Modo
Sillogismo
Argomento
(Darapti)
Forma sillog.
Interpretaz.
(del linguaggio naturale)
aMP aFP F = figli ; 

P = avere un padre. 

tutti i figli hanno un padre
aMS aFM F = figli ; 

M = avere una madre. 

tutti i figli hanno una madre
iSP iMP M = avere una madre ; 

P = avere un padre. 

quindi, alcuni di coloro che hanno una madre hanno un padre 
Definizione 4 : una procedura di decisione per una proprietà è un metodo meccanico che, dato un qualunque oggetto di un certo tipo, permette, in un numero finito di passi, di stabilire se quell'oggetto ha o non ha la proprietà .
  1. S e P sono separati (hanno intersezione vuota) ;
  2. S e P hanno intersezione non vuota ma nessuno dei due è incluso nell'altro ;
  3. P è incluso strettamente in S ;
  4. S è incluso strettamente in P ;
  5. S è identico a P ;
  1. S non vuoto e P vuoto.
Teorema 1 (decidibilità della logica sillogistica) : esiste una procedura di decisione per la validità di un qualunque sillogismo.

DIMOSTRAZIONE : vedi le considerazioni precedenti.

I figura II figura III figura IV figura
Barbara Cesare Darapti* Bramantip*
Celarent Camestres Disamis Camenes
Darii Festino Datisi Dimaris
Ferio Baroco Felapton* Fesapo*
Barbari* Cesaro* Bocardo Fresison
Celaront* Camestros* Ferison Calemos*

L'asterisco indica che i modi così contrassegnati sono validi soltanto assumendo l'assioma di Aristotele.



Lezione 4 - Decidibilità e indecidibilità della logica

Teorema 2 (indecidibilità della logica dei predicati del I ordine) : non esiste una procedura di decisione per la validità di un qualunque argomento del linguaggio della logica dei predicati del I ordine*.

DIMOSTRAZIONE : al di là dei limiti di questo corso.


* Il teorema di indecidibilità per la logica dei predicati del primo ordine è di solito enunciato nel seguente modo: non esiste una procedura di decisione per la validità (verità logica o tautologicità) di una qualunque forma proposizionale del linguaggio della logica dei predicati del primo ordine. Tuttavia, questa formulazione è equivalente alla mia. Che questa formulazione implichi la mia è evidente. Il senso inverso dell'implicazione segue dal seguente fatto, facilmente verificabile: (ß O¬ß) => ß1sse ß1 è una verità logica.


"Questo libro è scritto per coloro che verso il suo spirito siano benevolmente disposti ; uno spirito che non è quello della grande corrente di civiltà europea e americana, in cui noi tutti ci troviamo a vivere. Quest'ultimo si esterna in un corso progressivo, nella costruzione di strutture sempre più ampie e complesse ; l'altro, in una tensione verso la perfetta limpidezza di qualunque struttura. L'uno vuol cogliere il mondo a partire dal suo perimetro - nella sua molteplicità ; l'altro nel suo centro - nella sua essenza. Perciò, mentre l'uno pone in fila una costruzione dopo l'altra, sale quasi di gradino in gradino sempre più in alto, l'altro rimane dov'è ed insiste a considerare sempre le stesse cose." (Ludwig Wittgenstein, dalla Premessa alle Osservazioni filosofiche, Einaudi, Torino, 1976.)



Indicazioni bibliografiche

Baird, Davis (1992). Inductive logic: Probability and statistics. Prentice Hall, Englewood Cliffs.

Boolos, George S. e Jeffrey, Richard C. (1980). Computability and logic. Cambridge University Press, Cambridge.

Casari, Ettore (1995). Logica. TEA, Milano.

Dalla Chiara, Maria Luisa (1974). Logica. Isedi, Milano.

Penrose, Roger (1989). The emperor's new mind. Oxford University Press, New York.

Penrose, Roger (1995). Shadows of the mind. Vintage, London.

Rogers, Robert (1971). Mathematical logic and formalized theories. North-Holland, Amsterdam.

Wittgenstein, Ludwig (1976). Osservazioni filosofiche. Einaudi, Torino.
 


  Torna alla home page Torna all'inizio