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La prova di Cantor dell'esistenza di numeri transfiniti più che numerabili
scheda di approfondimento
di Marco Giunti

Teorema di Cantor
Non esiste un insieme A con una corrispondenza biunivoca fra A e l'insieme di tutti i suoi sottoinsiemi A*.

DIMOSTRAZIONE

  1. IPOTESI: assumiamo che esista un insieme A con una corrispondenza biunivoca fra A e l'insieme dei suoi sottoinsiemi A*. Chiamiamo tale corrispondenza s e, per ogni elemento x appartenente ad A, indichiamo con s(x) il sottoinsieme di A che gli corrisponde tramite s ;
  2. per ogni x appartenente ad A, o x appartiene al suo corrispondente s(x), o x non appartiene al suo corrispondente s(x) :
    1. perché, per l'ipotesi (1), per ogni x, s(x) è un sottoinsieme di A. (O, più semplicemente, (2) vale per la legge logica del III escluso);
  3. sia C l'insieme di tutti gli elementi x di A che non appartengono al proprio corrispondente s(x) :
    1. si noti che, a causa di (2), l'insieme C è ben definito ;
  4. C è un sottoinsieme di A :
    1. perché, per (3), tutti gli elementi di C sono anche elementi di A ;
  5. C appartiene ad A* :
    1. perché, per (4), C è un sottoinsieme di A, e, per l'ipotesi (1), A* è l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A ;
  6. esiste un elemento xC di A tale che il suo corrispondente s(xC) è C;
    1. perché, per (5), C appartiene ad A* e, per l'ipotesi (1), la corrispondenza s fra A e A* è biunivoca ;
  7. o xC appartiene a C, o xC non appartiene a C :
    1. perchè, per (6), xC appartiene ad A e C è il suo corrispondente s(xC). Dunque, per (2), o xC appartiene a C, o xC non appartiene a C. (O, più semplicemente, (7) vale per la legge logica del III escluso);
    2. SOTTO-IPOTESI : assumiamo che xC appartenga a C ;
    3. xC non appartiene al suo corrispondente s(xC) :
      1. per (a), xC appartiene a C. Ma, per (3), ogni elemento di C non appartiene al suo corrispondente. Dunque, xC non appartiene al suo corrispondente s(xC) ;
    4. xC non appartiene a C :
      1. perché, per (b), xC non appartiene al suo corrispondente s(xC) e, per (6), tale corrispondente è C ;
  8. xC non appartiene a C :
    1. siccome (c) contraddice la sottoipotesi (a), essa è falsa; quindi, per (7),  xC non appartiene a C ;
  9. xC appartiene al suo corrispondente s(xC) :
    1. se xC non appartenesse al suo corrispondente s(xC), allora, per (3), xC apparterrebbe a C. Ma, per (8), xC non appartiene a C. Dunque, xC appartiene al suo corrispondente s(xC) ;
  10. xC appartiene a C :
    1. perché, per (9), xC appartiene al suo corrispondente s(xC) e, per (6), tale corrispondente è C ;
  11. non esiste un insieme A con una corrispondenza biunivoca fra A e l'insieme di tutti i suoi sottoinsiemi A* :
    1. perché (10) contraddice (8). Dunque, l'ipotesi (1) è falsa, e quindi non esiste un insieme A con una corrispondenza biunivoca fra A e l'insieme di tutti i suoi sottoinsiemi A*.                c.v.d.



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