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Una parabola per il mistero della grande piramide
Gaetano Barbella
mercoledì 8 ottobre 2008
Piramide di Cheope di Giza d'Egitto. Sezione trasversale.
Illustrazione 1: Piramide di Cheope di Giza d'Egitto. Sezione trasversale.

La parabola e la barca solare

La piramide di Cheope resta il mistero dei misteri, il primo dei quali è la sua funzione. Si hanno perfino dubbi se essa fu eretta come monumento tombale per il faraone Cheope o no. Ma una cosa è certa, il fatto di ritenerla un'opera eseguita secondo canoni matematici a ragione delle sue proporzioni.
Se questa è l'unica cosa assolutamente certa, ed è così, perché allora non tentare di incamminarci con l'aiuto della scienza matematica per scoprire, chissà, altre relazioni sulla scorta di un felice prosieguo in tal senso? Quindi ignoriamo per il momento tutte le concezioni, in gran parte paragnostiche, sul conto di questa opera edile, e incanaliamoci con l'uso di "riga e compasso" nei meandri geometrici che possono derivare dalla piramide congegnata, come si sa, secondo il canone della sezione aurea o di pi greco.
Il titolo di questo scritto ci anticipa un termine che potrebbe far pensare ad una similitudine per tentare di svelare il mistero della Grande Piramide, ma chiaramente come già detto, si capisce subito che si tratta della conica che si studia in geometria che è determinata dall'intersezione del cono con un piano parallelo ad una generatrice. E il mistero da svelare, notevolmente grande come la piramide stessa, è la sua funzione, ossia a cosa doveva servire di preciso.
Senza contare che non si riesce nemmeno a capire la tecnologia impiegata (presumibilmente povera di mezzi per quei tempi) per la sua edificazione, considerato che si dovettero trasportare ben più di 2,3 milioni di blocchi di pietra lavorata fino al sito di fabbrica, alle quote di impiego fino 147 metri circa di altezza. Il peso di ognuno di questi massi era in prevalenza di 2,5 tonnellate, ma ce ne erano anche molti altri di notevole peso, fino a 70-80 tonnellate.
Tralasciando le domande e risposte che si pongono per questo lato edile, farò vedere che, in base ad una semplice geometria, si riesce a pervenire a dei nessi sul mistero di alcune disposizioni strutturali interne della piramide di Cheope (illustrazione 1).
Nulla di veramente accertato, ma il fatto che la disposizione della tomba del Re e della Regina, al suo interno, trovino ottimo riferimento a determinati punti nodali derivante dallo sviluppo dell'annunciata geometria, partendo appunto da una parabola, è davvero sorprendente.
Barca solare di Cheope. [1]
Illustrazione 2: Barca solare di Cheope (fonte: Wikipedia).
Però non è del tutto estranea la parabola alla Grande Piramide se presa come forma modellante della barca solare che venne scoperta poco adiacente, in seguito ad alcuni scavi nel 1954. Questa barca dovette servire per il rito funebre del re Cheope, in modo che la sua anima in compagnia del dio Ra navigassero per raggiungere il regno dei morti. Il dio Ra compiva "giornalmente" il cosiddetto "viaggio del giorno e della notte", di giorno attraversava il cielo e di notte gli inferi.
La cosa inspiegabile e molto curiosa è che questa barca solare di Cheope fu trovata smontata in 1500 pezzi e in seguito fu rimontata e collocata accanto alla Grande Piramide, in un salone di esposizione per il pubblico (illustrazione 2).

La sezione aurea

Geometria della sezione aurea per la piramide di Cheope.
Illustrazione 3: Geometria della sezione aurea per la piramide di Cheope.
Si può dire che con la parabola è possibile risalire alla concezione della sezione aurea e da questa alla definizione geometrica, eseguibile con "riga e compasso", di un triangolo isoscele simile a quello della sezione trasversale della piramide di Cheope lungo le relative apoteme (illustrazione 1). Ma per semplificare, almeno in merito alla determinazione del triangolo isoscele in questione, procederò con il metodo noto della sezione aurea applicata ad un segmento che stabiliamo sia l'altezza del nostro triangolo da determinare.
Per costruire la sezione aurea del segmento AB (illustrazione 3), si traccia un triangolo rettangolo ABF, in modo che il cateto BF sia metà di AB. Per ottenere questa metà si tracciano due coppie di archetti a piacere nei punti C e D e poi si uniscono: il punto E di AB è la metà ricercata. Poi con un arco di cerchio con centro in B si interseca la verticale a B in F. Fa seguito il congiungimento del punto A con F sul quale si punta il compasso e si esegue l'arco che congiunge B con G del segmento AF. AG è la sezione aurea che si cerca: di qui con il compasso, centrato in A e di raggio AG, si disegna l'arco che interseca il segmento AB e, lateralmente nei punti I ed L di confluenza con un arco di centro E.
Ed ora l'ultima cosa da fare è tracciare due rette che collegano, B con I fino ad intersecare il prolungamento ortogonale al segmento AB in M, e poi, dalla parte opposta, B con L per arrivare alla semiretta ortogonale ad AB in N.
Il triangolo MNB è il triangolo della piramide di Cheope eseguito secondo il canone della sezione aurea.
II rapporto AB:AH, che è uguale al rapporto AH:HB, è un numero irrazionale a cui viene attribuito il valore approssimativo 1,618... Numericamente questo rapporto è espresso da:
Formula a
Si tratta anche di un numero che deriva dai rapporti fra due termini successivi della serie di Fibonacci al loro limite.
In particolare, eseguendo dei semplici calcoli, si ottiene che la semi-base di MN del triangolo MNB (che potremo chiamare aureo) è:
Formula b
Colgo l'occasione per dimostrare quanto sia errato affermare che la Grande Piramide è informata alla sezione aurea ed anche a pi greco. Cioè a dire, in alternativa a quanto poc'anzi matematicamente acquisito per la versione della sezione aurea, che il quadrato di base della piramide in questione è idealmente la perfetta quadratura di un cerchio di diametro pari alla sua altezza. In tal caso il semi-lato di questo quadrato ideale è 1/8 di pi greco, considerando il diametro uguale all'unità. Quindi:
Formula c
Ecco dimostrato che le due versioni differiscono fra loro, ma i valori numerici in questione, riferiti all'unità sono abbastanza vicini l'uno all'altro. Però propendere per la versione della sezione aurea ci viene dal un altro confronto che ci dà la prova della perfetta armonia della figura geometrica, anche se a prezzo dell'approssimazione in eccesso della quadratura del cerchio, esatta invece con la versione di pi greco. L'illustrazione 4 presenta la piramide con la sua parabola – meglio il triangolo isoscele della relativa sezione trasversale – all'insegna della sezione aurea, che è circoscrivile ad un cerchio di raggio uguale esattamente a ½, considerando l'altezza del triangolo uguale a 1. Nel caso relativo a pi greco accanto, dell'illustrazione 5, il raggio del cerchio inscritto è invece un numero irrazionale che si approssima a ½.
Pi greco è un numero irrazionale e trascendente e non è possibile concepirlo per via algebrica, tanto meno con l'uso della "riga e compasso". Mentre l'altro della sezione aurea, anche se è un numero irrazionale lo si può ottenere in modo algebrico ed anche attraverso il disegno con assoluta precisione, in via di principio, ovviamente.
Piramide versione della sezione aurea.
Illustrazione 4: Piramide versione della sezione aurea.
Piramide versione di pi greco.
Illustrazione 5: Piramide versione di pi greco.

La parabola

Parabola canonica.
Illustrazione 6: Parabola canonica.
Ed ora comincio a presentare la nota parabola, che servirà, come anticipato, a correlarla al triangolo isoscele della piramide di Cheope di altezza idealmente uguale all'unità, quella dell'illustrazione 3.

Dati il vertice O, l'asse Ox ed un punto P (0 il fuoco F) (illustrazione 6).

Per determinare il fuoco si costruiscano la proiezione Q di P sull'asse, e il simmetrico T di Q rispetto ad O (TO = OQ). La retta TP è tangente alla parabola in P; la perpendicolare a TP nel suo punto di mezzo H incontra l'asse nel fuoco F. Valgono le relazioni:
Formula d
Formula e
Formula f
Formula g
Formula h
Perciò per determinare altri punti della parabola:
a) di assegnata ascissa x = OQ: si costruisce QN = ZOF, e con centro F e raggio FN si determinano i punti P e T, da cui anche la tangente PT;
b) di assegnata ordinata y = OK: si congiunge il punto medio H di OK con F, e la TP perpendicolare a FH interseca la KP (parallela all'asse) in P;
c) di assegnata inclinazione θ della tangente: si traccia la normale FH alla direzione voluta e si determina la retta TP tangente; il punto P si trova con TH = HP o TF = FP;
d) dato R (illustrazione 4, IV quadrante), sia S la sua proiezione sulla tangente al vertice. Divisi OS ed SR in un ugual numero di parti uguali, si costruiscano le rette OR1, OR2, ..., e le parallele all'asse per Sl, S2, le intersezioni P1, P2, appartengono alla parabola. La costruzione si può proseguire al di fuori dell'arco OR.
L'ultima relazione è che QN sull'asse delle x è pari a p. Il triangolo rettangolo PKN è simile al triangolo rettangolo adiacente PTQ e questo permette di dimostrare che QN è uguale a p appunto. La regola che ne consegue è che qualsiasi altro triangolo isoscele, con i lati obliqui normali alla parabola, ha sempre l'altezza uguale al parametro p.

Forma canonica (vertice nell'origine, asse coincidente con l'asse x).
Equazioni cartesiane:
parabola:
Formula i
fuoco:
Formula l
direttrice:
Formula m
tangente in P0:
Formula n
normale in P0:
Formula o

La piramide e la parabola

Il triangolo isoscele della piramide di Cheope e la parabola.
Illustrazione 7: Il triangolo isoscele della piramide di Cheope e la parabola.
Non è regolare la disposizione dell'illustrazione 7 ma per comodità di ciò che verrà fatto di seguito, ho fatto ruotare gli assi cartesiani x e y di un angolo retto verso sinistra.
In alto è riportato il triangolo isoscele ABC della sezione trasversale della piramide di Cheope, con l'altezza idealmente pari all'unità, ossia pari al parametro p della parabola.
Il triangolo A'B'C' in basso è l'analogo a quello sopra suddetto previo le due proiezioni AA' E BB'.
È nota l'ordinata ya, il parametro p = 1, ed in base all'equazione della parabola canonica che:
Formula p
possiamo calcolare ascissa xa come segue:
Formula q
Formula qb

La piramide con la parabola, come un cristallo

La piramide con la parabola unite viste come un cristallo. Caso particolare della riflessione ottica all'interno.
Illustrazione 8: La piramide con la parabola unite viste come un cristallo. Caso particolare della riflessione ottica all'interno.
Dati geometrici dell'illustrazione 8:
Formula r
Formula rb
Formula rc
Formula rd
Formula re
Formula rf
Formula rg
La Grande Piramide fu concepita secondo canoni suggeriti dalle credenze religiose esoteriche vigenti al suo tempo. Nulla che scandalizzi immaginare che il manufatto sia una sorta di pietra filosofale e per questo fu informata al canone della sezione aurea per conferirle l'armonia col cosmo. Altrimenti come poteva il defunto faraone Cheope, ritenuto un dio in terra, navigare col dio Ra per raggiungere il regno dei morti? Occorreva che la barca solare, da intravedersi nella piramide unita alla parabola (naturalmente si tratta di emblemi metafisici), fosse veramente speciale. Ma, di conseguenza, era necessario che essa fosse idonea per procedere per il "viaggio del giorno e della notte", cosa che comportava anche che essa fosse congegnata anche come corpo di luce oltre che di pietra. Di qui nulla che scandalizzi immaginare il complesso piramidale unito alla parabola sottostante, così come è stata considerata dal punto di vista della geometria, come uno speciale cristallo somigliante alle note gemme preziose che si incastonano sugli anelli e collane.
Taglio di una pietra preziosa. Gioco di luce con la scomposizione nei colori dell'iride.
Illustrazione 9: Taglio di una pietra preziosa. Gioco di luce con la scomposizione nei colori dell'iride.
La luminosità è un requisito fondamentale per le gemme preziose e le loro studiate sfaccettature moltiplicano i giochi di luce scomposta nei suoi colori, cosiddetti dell'iride, all'interno per sprigionarsi in modo sfolgorante all'esterno (illustrazione 9).
Nulla che meravigli, dunque, vedere la piramide di Cheope come uno speciale cristallo e costatare subito una particolare proprietà dovuta a un ipotetico raggio di luce che interagisce in esso. Dall'illustrazione 6 si può capire di che si tratta.
Il raggio IP è normale alla parabola e si imbatte sulla parete C'B' riflettendosi in Q della parete opposta C'A'. Prosegue da qui la riflessione luminosa in modo verticale fino in fondo sulla parabola in R. Si sa che tutti i raggi verticali confluenti su una parabola si rifletto convergendo nel fuoco relativo, che nel nostro caso è il punto F. Naturalmente si è capito che il punto I di partenza del supposto raggio luminoso è unico in modo che la sua inclinazione riferita alla verticale sia 180°-4Φ come indicato sull'illustrazione 8. Φ è il semi-angolo al vertice della piramide.
Nessun commento su questo raggio salvo a vedere ora il raffronto con lo spaccato della piramide di Cheope (illustrazione 10), in cui si vedono i vari elementi che vi fanno parte: la tomba del re e della regina, la grande galleria ed altro.
Piramide di Cheope. Sezione trasversale.
Illustrazione 10: Piramide di Cheope. Sezione trasversale.
Ed ecco il fatto meraviglioso che spiega il titolo di questo scritto: Una parabola per il mistero della Grande Piramide! Due cose in una: il fuoco F della parabola di arco A'OB', su cui è posta la piramide A'B'C', coincide con un certo punto della tomba della Regina e il raggio verticale QR della ipotetica luce, all'interno della piramide in questione, coincide con l'asse della tomba del Re.
Il mistero però resta, comunque, ma tutto il presente lavoro di geometria, se non altro, è servito ad aprire un varco per poter intuire cose nuove.
Tuttavia c'è modo di far progredire un certo ragionamento che porterebbe a capire come potrebbe funzionare l'apparato tombale in questione, la cui rappresentazione monumentale può servire, naturalmente, come modello simbolico e non come una sorta di macchina – mettiamo – per far veramente resuscitare i morti. Consideriamola come processo di "memoria" rimandata al futuro.
Dunque la camera del Re fa parte di una struttura composta da elementi granitici che nell'insieme è chiamata Zed. In particolare interessa la disposizione della parte superiore a questa camera, perché è costituita da cinque ranghi di travi disposte una accanto all'altra e ognuna, pesa poco più di 70 tonnellate.
Effetto piezoelettrico: applicando una forza a certi materiali viene prodotta una tensione.
Illustrazione 11: Effetto piezoelettrico: applicando una forza a certi materiali viene prodotta una tensione.
Dunque, sappiamo che il granito è composto in gran parte di quarzo, che è piezoelettrico, un particolare fenomeno elettromeccanico. Ossia quando questo materiale è sollecitato da forte pressione, o comunque quando vibra, per esempio in seguito a una percossa, compaiono delle cariche elettriche sulla superficie.
Lo Zed.
Illustrazione 12: Lo Zed.
Il passo è breve, a ragione di ciò, per intravedere nell'enorme apparato dello Zed una batteria di produzione di energia elettrica, e questo potrebbe spiegare la natura specifica del raggio verticale passante per questo manufatto (illustrazione 12). Altrimenti non si fa luce sulla supposta energia segnalata dal particolare andar di vieni del raggio in questione, passante per lo Zed, non avendo modo di alimentarsi.
Potrebbe essere la camera della Regina questa fonte, ma avendo scoperto la funzione di centrale elettrica dello Zed, si può pensare che sia la Regina l'utilizzatrice dell'energia che confluisce in lei per dar luogo – mettiamo – alla rigenerazione vitale. Di qui il percorso attraverso un condotto orizzontale, poi quello della Grande Galleria e finalmente verso la camera del Re (illustrazione 1 ed illustrazione 12).
Nella camera della Regina è ricavata su una parete una nicchia che ha la sagoma simile a quella della sezione trasversale della Grande Galleria, e questo li mette in relazione diretta. In più nell'anticamera della camera del Re vi sono delle saracinesche in pietra come a voler far capire che la natura del ipotetico flusso vitale, proveniente dalla Regina confluendo al Re abbia a che vedere con l'acqua, chiaro segno di vita.
Mi fa pensare a questa spiegazione in che modo le ossa si rigenerano, giusto in stretta relazione ai materiali piezoelettrici.
Il modo in cui molti organismi viventi usano la piezoelettricità è molto interessante: le ossa agiscono come dei sensori di forza. Applicando una forza, le ossa producono delle cariche elettriche proporzionali alla loro sollecitazione interna. Queste cariche stimolano e causano la crescita di nuovo materiale osseo, rinforzando la robustezza della struttura ossea in quelle zone in cui la deflessione interna è più elevata. Ne risultano strutture con minimo carico specifico e, pertanto, con eccellente rapporto peso-resistenza (HBM measurement with confidence).
Però un'altra cosa è possibile suggerire come riscontro ideografico fra i geroglifici egizi, con il raggio energetico verticale poc'anzi analizzato. Mi viene da intravederlo nello scettro nella mano del dio dei morti Osiride e di altri dei egizi, nonché in quella dei faraoni assisi sul trono (illustrazione 13).
La cima di questo scettro termina con una forcina di traverso particolarmente sagomata che può benissimo riferirsi alla parete della piramide dove il raggio si riflette; mentre la parte terminale è munita di un'altra forcina a due punte che può riferirsi ad un doppio potere legato allo scettro che potrebbe trovare riscontro nel bipolarismo dell'ipotetica elettricità del raggio verticale che passa per lo Zed, precedentemente trattato.
Particolare affresco della cappella funeraria di Thutmose III (sec. XV a.C.).
Illustrazione 13: Particolare affresco della cappella funeraria di Thutmose III (sec. XV a.C.).
Di altro, è interessante costatare che, osservando gli ideogrammi riportati sull'affresco della cappella funeraria di Thutmose III dell'illustrazione 13, si nota che lo scettro, oltre a quello impugnato dal faraone, è anche rappresentato (in alto, sullo scettro del faraone) a fianco dell'ideogramma dello zed (lo stesso della camera del Re della Grande Piramide) e da altri segni importanti. Fra questi c'è una sorta di ciotola, dal significato di cesto, che può benissimo correlarsi con la parabola esibita per arrivare a tutte le argomentazioni di questo saggio.
Per concludere, considerato che il tema di questo scritto ha riguardato la matematica, non piacerà ai matematici la mia intrusione di concezioni paragnostiche, inammissibili per la loro scienza, tuttavia si sono esaminati dei reperti dell'archeomitologia che vi avrebbero a che fare invece.
Comunque aver trovato delle interessanti relazioni matematiche con la Grande Piramide, significa aver fornito un contributo considerevole e stimolante nella interpretazione geometrica di disegni, fregi, immagini tratte dal mondo egizio, una lettura in chiave geometrica razionale che certo potrebbe appassionare i matematici perché contribuirebbe a dimostrare che la geometria è insita nelle cose dell'essere umano, anche d'arte, perché il loro uso anche inconsapevole è spontaneo, perché la geometria è insita nel comportamento umano pittorico, rappresentativo etc etc.
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