Procedimento per l’estrazione della radice cubica da un numero di Ferdinando Mercuri.

Senza l’uso della tavola dei cubi.             

 

Il segno

 

, è il segno di radice cubica.

 

 

                              

Le abbreviazioni indicano:

E = Esponente

R a = Radicando

R = Radice

Re = Resto

Q = Quoziente

Q r = Quoziente per Radice

N r = Numero di Radice

N a r = Numero approssimato di Radice.

 

  Si voglia, per esempio calcolare:

 

 

1)                 Si scompone il radicando (RA) 16777216 in gruppi di tre cifre a cominciare dalla destra.

(l’ultimo gruppo a sinistra potendo anche essere d’una o due cifre, come nel nostro caso) e si forma il quadro seguente:

 

2)                 Si calcola a mente il massimo numero il cui cubo non supera l’ultimo gruppo (nel nostro caso si ha 2, poiché un numero maggiore di 2 ha il cubo maggiore di 16). Si ottiene così la prima cifra della radice cubica ®, che si scrive dove è qui indicato.

 

3)                 Si eleva a cubo 2 (NR) e si toglie dal gruppo 16 il risultato 8, ottenendo la differenza 8 che dicesi primo resto (Re).

 

 

4)   Alla destra del primo resto si scrive il gruppo 777. Si forma il numero 8777, dal quale si staccano l’ultime due cifre 77. (Formando così il gruppo <G> 87)

     Si moltiplica il 2 ®  per l’esponente (ossia per 3) e si scrive dove è qui indicato (Q).

 

5)      Si moltiplica la radice 2®  per il quoziente 6 (Q) ottenendo 12 (Q r) e si scrive dove è qui indicato:

 

 

6)   Si divide 87(Re) per 12 (Q r ), ottenendo 7 che dicesi numero approssimato di radice (N a r )

e si moltiplica per  il quoziente 6 (Q) ottenendo 42, si cancella sempre l’ultima cifra e risulta

 

42= 4.               Si aggiunge 12 (Q r ) al 4 ottenendo 16.       Si divide 87 ( R e )

                                                           Per 16 e si ottiene 5  numero esatto di radice ®  e si scrive dove è qui indicato.

 

 

 

_questo procedimento si può eseguire con un’unica formula abbreviata come questa qui svolta .

              Re: {Q r + [Q ×( Re : Q r )] : 10 } = N r

            Numero fisso

 

Quindi ( N r ), è uguale a : -----N r = Re: {Q r + [Q ×( Re : Q r )] : 10 } =

 

 

formula equivalente a quella sopra enunciata: Re:[Q r + (Q × Re : Q r) : 10 =

 

Se non facciamo uso del numero fisso (10) potremmo adottare il sistema sotto esposto.

Tenendo conto che nell’algebra prima si eseguono moltiplicazioni e divisioni e poi addizioni e sottrazioni.

N r = R e : [ Q r + Q × ( R e : Q r )] = 87 : [12 + 6 × ( 87 : 12 )] = 87 :[ 12 + 6 × 7 ] =

=87: [ 12 + 4 2 ] = 87: 16 = 5 ( N r )   Qui l’esempio sopra esposto dove dal 42 è stato cancellato il 2.

Con la formula normale utilizzeremo il numero fisso ( 10 ) e sotto non cancelleremo il numero ma

lo divideremo per 10. Ripetiamo i calcoli con la formula completa e il risultato dovrà essere

uguale a N r = 5  se ciò è esatto.

N r = Re: {Q r + [Q ×( Re: Q r )]: 10 } = 87: { 12 + [ 6 × ( 87: 12 ) ]: 10 } =

= 87: { 12 + [ 6 × 7,25 ]: 10 } = 87: { 12 + 43,5: 10 } = 87: { 12+ 4,35 } =

= 87: 16,35 = 5  ( N r )        naturalmente il numero dopo la virgola può essere omesso.

 Il risultato è identico.

 

7)      Si esegue il prodotto nel modo seguente:

Si moltiplica il quoziente 6 (Q) per il secondo numero di radice 5 (N r), ottenendo 30 e si mette

In colonna al 12 (Q r) spostato di un posto verso destra. Si moltiplica il secondo numero della radice 5 (N r) per se stesso ottenendo 25 e si mette in colonna al precedente spostato di una cifra verso destra. Moltiplicando la somma ottenuta 1525 per il secondo numero di radice 5 (N r), si ottiene 7625.

 

 

8)                 La seconda cifra della radice é 5 e si scrive a destra della prima, ottenendo 25.

           Da 8777 si toglie il prodotto 7625 e si ha la differenza 1152, che costituisce il secondo resto.

 

 

 

9)                 Alla destra del secondo resto, si scrive il gruppo 216. Si ha il numero 1152216, dal quale si staccano le ultime due cifre a destra. Si moltiplica il 25 ® per l’esponente 3 (E) e si ha 75 (Q2)

 

 

10)            (Si segue come il n° 5 ) – Si moltiplica la radice 25® per il quoziente 75 (Q2) ottenendo 1875 ( Q r 2 ) e si scrive dove è qui indicato:

 

 

 

 

 

11)            ( Si segue come il n° 6 ). Si divide 11522 (Re2) per 1875 (Qr2), ottenendo 6.

Trovato il numero approssimato di radice 6, si procede per trovare il terzo numero esatto della radice. Si moltiplica il numero approssimato di radice 6 per il quoziente 75 (Q2) ottenendo 450, si cancella l’ultima cifra e risulta 450 quarantacinque. Si divide 11522(Re2) per 1920 e si ottiene 6 (N r 3) numero esatto di radice, si scrive 6 (N r 3) dove è qui sotto indicato.

 

N r 3 = 11522: {1875+[ 75×(11522:1875)]:10 }=11522: {1875+[75×6]:10}=

=11522: {1875+450:10} =11522: {1875+45}=11522:1920=6 (N r 3)

 

 

 

12)                 (Si esegue come il n° 7). Si esegue il prodotto nel modo seguente:

Si moltiplica il quoziente 75 (Q2) per il terzo numero della radice 6 (N r), ottenendo 450 e si mette in colonna al 1875 (Q r 2) spostato di un posto verso destra. Si moltiplica il terzo numero  della radice 6 (N r) per se stesso ottenendo 36 e si mette in colonna al precedente spostato di un posto verso destra. Moltiplicando la somma ottenuta 192036 per il terzo numero della radice

5        (N r), otteniamo 1152216.

 

 

 

 

 

13)                 La terza cifra della radice cubica è 6 e si scrive a destra del 25 ®, ottenendo 256.

Da 1152216 si toglie 1152216 ottenendo 0.

Poiché il resto dell’operazione è zero, il numero dato è un cubo perfetto.

Nota:

 Il numero di radice è esatto se sottraendolo dal numero approssimato si ottiene

(0)  od (1), se si ottiene più di uno si sottrae uno al quoziente.

Buon proseguimento firmato: Ferdinando Mercuri