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OPERAZIONI GEOMETRICHE : SEZIONE PUNTEGGIATA DI SOLIDI A FACCE

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Sezione punteggiata Sezione rigata
Presentazione  

Esempio

   Presentazione

horizontal rule

Presentazione

              Si ricorda, anzitutto, che la sezione Ŕ una operazione geometrico-descrittiva che si esegue per mezzo di un piano detto, appunto, piano di sezione. Come tale esso pu˛ essere considerato come  punteggiato (se costituito da punti) o rigato  (se costituito da rette).

               Se si riguarda il piano come "piano punteggiato" allora Ŕ necessario individuare i vertici del poligono della "sezione punteggiata" come punti ottenuti dalla intersezione delle rette contenenti gli spigoli del solido con il piano di sezione assegnato.  

            Sviluppando queste operazioni di intersezione si determineranno i vertici del poligono punteggiato e quindi la "sezione punteggiata" risultante come sviluppato nell'esempio che segue.

              La verifica di correttezza dell'operazione si esegue mediante l'applicazione delle condizioni di appartenenza ed in particolare dell'appartenenza tra punto e piano secondo la seguente legge (P a) Ů (P r a

 

horizontal rule

 

Esempio

Esempio

             Definito l'abaco degli elementi geometrici del solido si sviluppa un esempio che analizza ogni singolo spigolo del solido per definire tutti i vertici del poligono di sezione mettendo a confronto le Elaborazioni grafiche con l'Analisi teorica e concettuale  allo scopo di analizzare e discutere le risultanze delle procedure operative mediante considerazioni e note.

 

Indice dei paragrafi

Abaco solido

Algoritmo grafico

Spigolo AB Spigolo BC Spigolo AC Spigolo AV Spigolo BV Spigolo CV Sezione spigoli base Sezione spigoli laterali Intersezione sezioni Sezione risultante Verifiche finali

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Elaborazioni grafiche

Analisi teorica e concettuale

Risultanze operative, considerazioni e note

Sia assegnata una piramide retta a base triangolare da sezionare mediante un piano generico a

 

 

 

 

 

Abaco del solido
Punti collocati nello spazio del primo diedro

Spigoli del solido riguardati come segmenti variamente collocati nello spazio del primo diedro.

 

Si ricorda che estendendo il segmento si ottiene la retta di cui ne rappresenta una porzione

 

 

Indice dei paragrafi

 

Facce del solido riguardate come porzioni di superfici piane variamente orientate nello spazio del primo diedro.

 

Si ricorda che per tre unti non allineati e non coincidenti passa uno ed un solo piano.

 

Elaborazione grafica della procedura risolutiva di:

r ă a«P

Algoritmo grafico. Definizione teorica dei  passaggi della procedura risolutiva. 

Per determinare la sezione punteggiata di un solido Ŕ necessario definire, anzitutto, le rette che contengono gli spigoli,quindi applicare ad ogni retta i tre passaggi, in sequenza,  relativi alla procedura risolutiva del problema descrittivo come  esplicitato nei tre passaggi indicati sotto con i numeri 1), 2), 3).

1) Con il primo passaggio si individua, tra gli infiniti piani che contengono la retta r, il piano b pi¨ idoneo allo sviluppo del secondo passaggio.

2)Il piano dato a e il piano b assunto si intersecano generando la retta x complanare ad r .

3)Intersecando la retta data r con la retta  x generata con il secondo passaggio, si determina il punto P cercato.

Indice dei paragrafi

 

Elaborazione grafica della procedura risolutiva di:

a ă a«L

Spigolo AB

Individuata la retta aAB si applica la procedura operativa sviluppando i tre passaggi come indicato di seguito.

1) Tra gli infiniti piani contenenti la retta a si assume, per semplicitÓ ed economia grafica, il piano orizzontale b .

2) Il piano b assunto interseca il piano  a secondo la retta x complanare alla retta a.

3) L'intersezione di x con a determina il punto L.

PoichŔ L¤AB significa che a non interseca lo spigolo in oggetto.

 

Indice dei paragrafi

 

Elaborazione grafica della procedura risolutiva di:

b ă a«M

Spigolo BC

Individuata la retta b BC si applica la procedura operativa sviluppando i tre passaggi come indicato di seguito.

1) Tra gli infiniti piani contenenti la retta b si assume, per semplicitÓ ed economia grafica, il piano orizzontale b .

2) Il piano b assunto interseca il piano a  generando la retta x complanare alla retta b.

3) L'intersezione di x con b determina il punto M.

PoichŔ MBC significa che a interseca lo spigolo del solido.

 

Indice dei paragrafi

 

Elaborazione grafica della procedura risolutiva di:

c ă a«N

Spigolo AC

Individuata la retta c AC si applica la procedura operativa sviluppando i tre passaggi come indicato di seguito.

1)Tra gli infiniti piani contenenti la retta c si assume, per semplicitÓ ed economia grafica, il piano orizzontale b .

2)Il piano b assunto interseca il piano a  generando la retta x complanare alla retta c.

3)L'intersezione di x con c determina il punto N.

PoichŔ NAC significa che a interseca lo spigolo del solido.

 

Indice dei paragrafi

 

Elaborazione grafica della procedura risolutiva di:

d ă a«O

Spigolo AV

Individuata la retta d AV si applica la procedura operativa sviluppando i tre passaggi come indicato di seguito.

1) Tra gli infiniti piani contenenti la retta d si assume, per semplicitÓ ed economia grafica, il piano b   proiettante in 1a proiezione.

2) Il piano b assunto interseca il piano a  generando la retta x complanare alla retta d.

3) L'intersezione di x con d determina il punto O.

PoichŔ OAV significa che a interseca lo spigolo del solido.

 

Indice dei paragrafi

 

Elaborazione grafica della procedura risolutiva di:

e ă a«P

Spigolo BV

Individuata la retta e BV si applica la procedura operativa sviluppando i tre passaggi come indicato di seguito.

1) Tra gli infiniti piani contenenti la retta e si assume, per semplicitÓ ed economia grafica, il piano b   proiettante in 2a proiezione.

2) Il piano b assunto interseca il piano a  generando la retta x complanare alla retta e.

3) L'intersezione di x con e determina il punto P.

PoichŔ PBV significa che a interseca lo spigolo del solido.

 

Indice dei paragrafi

 

Elaborazione grafica della procedura risolutiva di:

f ă a«Q

Spigolo CV

Individuata la retta f BV si applica la procedura operativa sviluppando i tre passaggi come indicato di seguito.

1) Tra gli infiniti piani passanti per f, data la sua posizione, si assume il piano generico b

2) Il piano b assunto interseca il piano a  generando la retta x complanare alla retta f.

3) L'intersezione di x con f determina il punto Q.

PoichŔ Q¤CV significa che a non interseca lo spigolo in oggetto.

 

Indice dei paragrafi

 

 

Punteggiata della base (Spigoli della base)

Sezione degli spigoli della base

I punti L(L';L"), M(M';M"), N(N';N") sono, rispettivamente, i punti di intersezione del piano a con gli spigoli (AB), (BC) e (AC) della base della piramide. 

Essi risultano a quota costante perchÚ la retta a(AB), la retta b(BC) e la retta c(AC) sono tre rette orizzontali diversamente inclinate rispetto a p2+.

Per questo motivo le prime proiezioni (L'; M'; N') dei punti risultano allineate secondo la traccia prima del piano di sezione.

Inoltre, mentre il segmento (NM) appartiene alla base del solido il segmento adiacente (ML) Ŕ esterno al solido tanto che il punto L, pur allineato con  i vertici A e B non Ŕ parte del medesimo.

Da questa analisi si evince che il piano  a non interseca lo spigolo (AB) del solido.

Indice dei paragrafi

 

 

Punteggiata degli spigoli laterali           (Spigoli laterali)

Sezione degli spigoli laterali

I punti O(O';O"), P(P';P"), Q(Q';Q") sono, rispettivamente, i punti di intersezione del piano a con gli spigoli (AV), (BV) e (CV) delle facce laterali della piramide.

Essi risultano a quota ed aggetto diversi perchŔ collocati nello spazio su una stella di tre rette, con sostegno in V, variamente orientate che costituiscono gli spigoli delle facce laterali del solido.

Mentre i punti O(O';O") e P(P';P") appartengono ai rispettivi spigoli (AV) e (BV), il punto Q(Q';Q") non appartiene allo spigolo (CV) tanto da risultarne esterno e collocato nello spazio del quarto diedro. Di conseguenza i lati (OQ) e (PQ), del poligono di sezione, apparterranno solo in parte alla sezione del solido. Per identificare le due porzioni Ŕ necessario eseguire l'intersezione delle due sezioni, come sviluppato nell'immagine successiva, isolando  esclusivamente ed opportunamente i vertici appartenenti agli spigoli del solido.

Indice dei paragrafi

 

Intersezione delle sezioni punteggiate: analisi

Intersezione delle sezioni punteggiate: analisi

Intersecando le due sezioni (quella relativa agli spigoli della base con quella relativa agli spigoli delle facce laterali) si evidenzia come i punti N(N';N") ed M(M';M") appartenendo, rispettivamente, ai segmenti (OQ) e (PQ) dividano gli stessi nelle due porzioni di cui si Ŕ detto al punto precedente.

Isolando, quindi, ed eliminando i segmenti (LM), (MQ) ed (NQ) che hanno un estremo non appartenente al solido si evidenzia il poligono chiuso costituito dai vertici (O,P,M,N) che  costituisce la sezione punteggiata di cui si sta trattando.

Le relative proiezioni ortogonali (O'; P'; M'; N') e (O"; P"; M"; N") costituiscono le proiezioni ortogonali della medesima sezione punteggiata che si ottiene tagliando la piramide retta assegnata con il piano generico a.

Indice dei paragrafi

 

 

Poligono risultante

Sezione risultante

Da quanto sopra si isola ed evidenzia, come nell'immagine affianco, il risultato descrittivo dell'operazione esposta nei paragrafi precedenti.

E' solo il caso di aggiungere che, dovendo il quadrilatero (M, N, O, P) appartenere al piano di sezione, estendendo adeguatamente i lati del poligono, le tracce delle rette cosý ottenute devono appartenere alle tracce omonime del piano di sezione come sviluppato e verificato nel paragrafo successivo e rispondere alla legge dell'appartenenza tra punto e piano sinteticamente espressa nella seguente formalizzazione (P a) Ů (P r a).

 

Indice dei paragrafi

 

Verifica mediante le leggi dell'appartenenza

Verifiche di appartenenza

Per il lato (OP) si conduce la retta a tale che a' (O'P'), a" (O"P"). 

Si genera una retta frontale a con (T1a t1a) e (Tą2a).

 

Per il lato (MN) si conduce la retta b tale che b'(M'N'), b"(M"N").

Si genera una retta orizzontale b con (Tą1b) e (T2b t2a).

 

Per il lato (MP) si conduce la retta c tale che c'(M'P'), b"(M"P").

Si genera una retta  generica c con (T1c t1a) e (T2c t2a).

 

Per il lato (OP) si conduce la retta d tale che d'(O'N'), d"(O"N").

Si genera una retta generica d con (T1d t1a) e (T2d t2a).

 

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