1.9 Funzione inversa
Ora, al fine di fornire il concetto di inversa di una
applicazione, si osservi che se f è una applicazione di E in F, essa associa ad
ogni elemento x di E uno ed un solo elemento f(x) di F. Non è
detto, però, che viceversa ad ogni elemento di F si possa associare uno ed un
solo elemento di E, nel senso che ad si possa associare un
solo tale che ; può accadere, infatti, che per qualche non esista alcun tale che , oppure esista più di
un tale che . Se, però, allora esiste almeno un tale che ; l’unicità di siffatto x
si ha se f è ingettiva
(cfr. d) della PROP. 1.7.3).
Tutto ciò
osservato, si pone la seguente
- DEF. 1.9.1
- Se è ingettiva, si chiama
(funzione) inversa di f l’applicazione
definita ponendo per ogni
- OSS. 1.9.1
- Se è ingettiva, si ha
dunque, per definizione di inversa:
Da ciò segue la
- PROP. 1.9.1
- Se è ingettiva, allora si
ha
- OSS. 1.9.2
- Dalla 3)
della PROP. 1.9.1 consegue che l’inversa di una applicazione ingettiva è
surgettiva.
Nella proposizione seguente si fornisce una
caratterizzazione dell’inversa di una applicazione ingettiva
- PROP. 1.9.2
- Se , allora sono equivalenti le proposizioni seguenti:
- f è ingettiva
Inoltre, vera una e, quindi, ciascuna delle proposizioni di
sopra, g è unica e risulta .
Dim. – a) b) Basta assumere e tener conto della 1)
della PROP. 1.9.1.
b) a) Siano tali che . Allora e, quindi, essendo , si ha x = y, cioè
f è ingettiva.
c) b) È ovvia.
b) c) Se ed è tale che , si ha, per l’ipotesi b), e da ciò
,
ossia , e quindi la c).
L’unicità della funzione g
prevista nella b) deriva dal fatto che se è tale che , allora e, quindi, per si ha
cioè g = g’.
Infine, siccome verifica la proprietà
richiesta per g nella b), allora .
- COR. 1.9.1
- Se è ingettiva,
l’applicazione inversa di f è l’unica applicazione g di in E tale che
Inoltre è ingettiva (e,
quindi, bigettiva (cfr. OSS.14)) ed ha come inversa la ridotta f * di f.
- COR. 1.9.2
- Se è bigettiva, l’inversa di f è l’unica applicazione tale che
Inoltre è bigettiva ed ha f come inversa.
- OSS. 1.9.3
- Se è una applicazione,
non necessariamente ingettiva, e se B è un sottoinsieme di F, col simbolo si è denotata l’immagine reciproca per f di B (cfr.
DEF. 1.6.1). Se, però, f è ingettiva e , avendo denotato con l’inversa di f , con lo stesso simbolo si denota anche l’immagine diretta per di B. L’uso della
stessa notazione è giustificata dal fatto che i due insiemi sono uguali, come
si può facilmente riconoscere.
Per quanto riguarda l’inversa di una applicazione composta,
si ha la seguente
- PROP. 1.9.3
- Siano e due applicazioni
ingettive. Allora l’applicazione composta è ingettiva e risulta
.
Dim. – L’ingettività di consegue dalla
PROP. 1.8.2. Si ha, poi, a causa della PROP. 1.9.2
e da ciò, per la proprietà associativa della composizione
(cfr. PROP. 1.8.1), consegue che
Dunque, a causa della PROP. 1.9.2, l’applicazione inversa di .
- COR. 1.9.3
- Siano e bigettiva. Allora è bigettiva e risulta
.
Esempi.
- Sia definita ponendo per
ogni
.
La f è ingettiva, infatti se si ha
.
Si ha anche , cioè l’insieme dei numeri dispari. Per calcolare l’inversa
di f si tiene conto della definizione di inversa, precisamente
dell’equivalenza che compare nella OSS. 1.9.1. Si ha, pertanto, se
,
dunque .
- Sia definita ponendo per
ogni
.
Proviamo che f è ingettiva. Se si ha
.
Dunque f è ingettiva.
Ora si può determinare sia
l’immagine di f sia l’inversa di f applicando la definizione
di inversa. Infatti se si ha
.
Dunque se e solo se ; in tal caso si ha .
Pertanto ed è definita ponendo per
ogni
.