Nel linguaggio matematico sono presenti alcuni simboli logici che servono a formulare, in modo inequivocabile, le cosiddette proposizioni o enunciati. Per proposizione si intende una qualsiasi affermazione che risulta o vera oppure falsa. Una proposizione si denota con una lettera dell'alfabeto, preferibilmente minuscola. Ad esempio frasi del tipo “Oggi è martedì” oppure “4 è un numero pari” sono proposizioni, mentre non lo sono frasi del tipo “Che cos’è la matematica?” oppure “a è un numero pari”.
I simboli logici che si usano più comunemente sono i seguenti:
L’uso che se ne fa è indicato qui appresso.
Se p e q sono proposizioni, esse danno luogo ad altre proposizioni denotate con i simboli seguenti
e denominate rispettivamente negazione di p, disgiunzione di p e q, congiunzione di p e q, implicazione di p e q, equivalenza di p e q. Le proposizioni ora introdotte sono definite dalle seguenti “tavole di verità”, dove si è indicato con V il valore “vero” e con F il valore “falso”.
p |
p |
q |
p |
q |
p |
q |
p |
q |
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F |
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V |
V |
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V |
F |
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F |
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F |
F |
F |
F |
F |
F |
F |
V |
F |
F |
V |
Qui di seguito riportiamo un elenco di proposizioni vere, alcune delle quali sono alla base dei metodi dimostrativi che si adoperano in matematica.
Se p, q ed r sono proposizioni qualsiasi, allora sono vere le seguenti proposizioni:
A titolo di esempio dimostriamo la 10), ossia facciamo vedere che le proposizioni sono equivalenti (cioè assumono gli stessi valori di verità); pertanto quando si richiede di dimostrare che è vera, basta dimostrare che è vera .
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p
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q
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V
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V
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F
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F
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F
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F
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V
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V
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In matematica si incontrano spesso espressioni, nelle quali sono presenti delle variabili, del tipo
Queste non sono proposizioni, ma lo diventano quando alle
variabili si sostituiscono i valori (costanti):
ad esempio se nella prima espressione ad x
si sostituisce il valore 1 (risp. 3) si ottiene una proposizione vera (risp.
falsa).
Espressioni del tipo suddetto si chiamano predicati e si denotano con simboli del tipo p(x), q(x,y), ecc. Un modo per ottenere proposizioni da predicati è quello di applicare a questi ultimi i cosiddetti quantificatori. I quantificatori sono due, denotati con i simboli
e letti rispettivamente «esiste (almeno) un» e «per ogni».
Si conviene, inoltre, di usare il simbolo
in sostituzione di «esiste uno e uno solo».
Ad esempio le seguenti frasi
(si legge «per ogni (numero reale) x risulta »)(*)
ed
(si legge «esiste (un numero reale) x tale che »)
dove x indica un numero reale, sono due proposizioni vere.
Si possono ottenere proposizioni con l’impiego di entrambi i quantificatori, come negli esempi
È ovvio che le prime tre proposizioni sono vere, mentre le ultime due sono false.
Si segnalano, inoltre, le seguenti due regole di logica, che si utilizzano per ottenere la negazione di proposizioni che contengono uno o più quantificatori. Se p(x) è un
predicato, si ha
Ad esempio, se p(x) è il predicato «x è un numero pari», la 13) esprime che sono equivalenti le due proposizioni: «non tutti i numeri sono pari» e «esiste almeno un numero non pari»; in questo caso le due proposizioni sono entrambe vere. La 14), invece, esprime che sono equivalenti le due proposizioni: «non esiste un numero pari» e «i numeri non sono pari», in questo caso le due proposizioni sono entrambe false.
Infine, se x ed y sono oggetti qualsiasi, la scrittura
x = y (si legge «x è uguale ad y»)
sta ad indicare che x ed y denotano lo stesso oggetto e, quindi, sono intercambiabili in ogni contesto matematico.
Il simbolo = prende il nome di uguaglianza. Per l’uguaglianza valgono le seguenti proprietà: