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Capitolo 13.   Le operazioni elementari e il sistema binario

Può essere utile conoscere alcuni concetti legati ai calcoli più semplici, specie quando applicati al sistema binario. In questo capitolo si riepilogano i procedimenti per eseguire le «quattro operazioni» con il sistema binario.

13.1   Complemento alla base di numerazione

Dato un numero n, espresso in base b, con k cifre, il complemento alla base è costituito da bk-n.

Per esempio, il complemento alla base del numero 00 123 456 789 (espresso in base dieci utilizzando 11 cifre) è 99 876 543 211:

complemento alla base di 00123456789

Dall'esempio si deve osservare che la quantità di cifre utilizzata è determinante nel calcolo del complemento, infatti, il complemento alla base dello stesso numero, usando però solo nove cifre (123 456 789) è invece 876 543 211:

complemento alla base di 123456789

In modo analogo si procede con i valori aventi una base diversa; per esempio, il complemento alla base del numero binario 001100112, composto da otto cifre, è pari a 110011012:

complemento alla base di 00110011_(2)

Il calcolo del complemento alla base, nel sistema binario, avviene in modo molto semplice, se si trasforma in questo modo:

complemento alla base di 00110011_(2)

In pratica, si prende un numero composto da una quantità di cifre a uno, pari alla stessa quantità di cifre del numero di partenza; quindi si esegue la sottrazione, poi si aggiunge il valore uno al risultato finale. Si osservi però cosa accade con una situazione leggermente differente, per il calcolo del complemento alla base di 00110011002:

complemento alla base di 0011001100_(2)

Per eseguire una sottrazione, si può calcolare il complemento alla base del sottraendo (il valore da sottrarre), sommandolo poi al valore di partenza, trascurando il riporto eventuale. Per esempio, volendo sottrarre da 1 757 il valore 758, si può calcolare il complemento alla base di 0 758 (usando la stessa quantità di cifre dell'altro valore), per poi sommarla. Il complemento alla base di 0 758 è 9 242:

complemento alla base di 0758

Invece di eseguire la sottrazione, si somma il valore ottenuto a quello di partenza, ignorando il riporto:

1757+9242-10000

Infatti: 1 757-758=999.

13.1.1   Complemento a uno e complemento a due

Quando si fa riferimento a numeri in base due, il complemento alla base è più noto come «complemento a due» (che evidentemente è la stessa cosa). D'altro canto, il complemento a uno è ciò che è già stato descritto con l'esempio seguente, dove si ottiene a partire dal numero 00110011002:

complemento a uno di 0011001100_(2)

Si comprende intuitivamente che il complemento a uno si ottiene semplicemente invertendo le cifre binarie:

complemento a uno di 0011001100_(2)

Pertanto, il complemento a due di un numero binario si ottiene facilmente invertendo le cifre del numero di partenza e aggiungendo una unità al risultato.

13.2   Addizione binaria

L'addizione binaria avviene in modo analogo a quella del sistema decimale, con la differenza che si utilizzano soltanto due cifre numeriche: 0 e 1. Pertanto, si possono presentare solo i casi seguenti:

somma binaria

Segue l'esempio di una somma tra due numeri in base due:

somma in base due

13.3   Sottrazione binaria

La sottrazione binaria può essere eseguita nello stesso modo di quella che si utilizza nel sistema decimale. Come avviene nel sistema decimale, quando una cifra del minuendo (il numero di partenza) è minore della cifra corrispondente nel sottraendo (il numero da sottrarre), si prende a prestito una unità dalla cifra precedente (a sinistra), che così si somma al minuendo con il valore della base di numerazione. L'esempio seguente mostra una sottrazione con due numeri binari:

sottrazione binaria

Generalmente, la sottrazione binaria viene eseguita sommando il complemento alla base del sottraendo. Il complemento alla base di 001100112 con otto cifre è 110011012:

complemento alla base di 00110011_(2)

Pertanto, la sottrazione originale diventa una somma, dove si trascura il riporto:

sottrazione attraverso la somma

13.4   Moltiplicazione binaria

La moltiplicazione binaria si esegue in modo analogo a quella per il sistema decimale, con il vantaggio che è sufficiente sommare il moltiplicando, facendolo scorrere verso sinistra, in base al valore del moltiplicatore. Naturalmente, lo spostamento di un valore binario verso sinistra di n posizioni, corrisponde a moltiplicarlo per 2n. Si osservi l'esempio seguente dove si moltiplica 100110012 per 10112:

moltiplicazione binaria

13.5   Divisione binaria

La divisione binaria si esegue in modo analogo al procedimento per i valori in base dieci. Si osservi l'esempio seguente, dove si divide il numero 101102 (2210) per 1002 (410):

divisione binaria

In questo caso il risultato è 1012 (510), con il resto di 102 (210); ovvero 101,12 (5,510).

Intuitivamente si comprende che: si prende il divisore, senza zeri anteriori, lo si fa scorrere a sinistra in modo da trovarsi allineato inizialmente con il dividendo; se la sottrazione può avere luogo, si scrive la cifra 12 nel risultato; si continua con gli scorrimenti e le sottrazioni; al termine, il valore residuo è il resto della divisione intera.

13.6   Riferimenti


Appunti di informatica libera 2008 --- Copyright © 2000-2008 Daniele Giacomini -- <appunti2 (ad) gmail·com>


Dovrebbe essere possibile fare riferimento a questa pagina anche con il nome le_operazioni_elementari_e_il_sistema_binario.htm

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