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Logica per i giudici | |
Indizio e prova nell’argomentazione | |
| Presentiamo di seguito due esempi; il primo appartiene alla categoria dei cosiddetti exempla ficta (“esempi fittizi”: esempi, cioè, escogitati per arrivare più speditamente al nucleo concettuale di un problema); il secondo è un esempio di cronaca giudiziaria che, per la rilevanza politica del caso, è entrato nei libri di storia. | |
Un exemplum fictum | Presentiamo dapprima un esempio in cui la colpevolezza di un imputato è argomentata in base agl’indizi e a una prova testimoniale. La struttura portante dell’argomento è quella del modus ponens, la cui seconda premessa è la conclusione di un argomento induttivo (cfr. cap. 3, § 3.2 e cap. 7, § 7.4.1): pertanto la sua conclusione è soltanto probabile. Lo schema argomentativo è dunque il seguente, di frequente riscontrabile (implicitamente, s’intende) nelle cronache giudiziarie:
dove h è l’ipotesi di colpevolezza ed e è l’evidenza empirica che dà a quell’ipotesi il valore di una certezza più o meno probabile, secondo la probabilità dell’evidenza empirica stessa. Ecco l’esempio:
Il caso, apparentemente, è risolto: abbiamo due indizi a favore dell’ipotesi di colpevolezza e una testimonianza che corrobora quegli indizi. Ma dubitare è ragionevole, perciò analizziamo il ragionamento che “inchioda” il rappresentante e misuriamone l’attendibilità. Lo schema inferenziale è quello di un’inferenza deduttiva, del genere modus ponens (cfr. cap. 3, § 3.2), quella – cioè – di un sillogismo ipotetico misto, dove la premessa maggiore è ipotetica e la premessa minore contiene l’affermazione dell’antecedente (e):
(Poiché l’inferenza si dà per scontato che l’inferenza sia deduttiva, e non induttiva, i due antecedenti siano separati dal conseguente mediante una linea semplice, anziché doppia.) In quest’inferenza abbiamo indicato con h l’ipotesi “R. è l’assassino”, mentre e indica l’evidenza sperimentale (la prova), cioè la testimonianza dell’impiegata che lo “inchioda”: “R era presente sul luogo del delitto”. In altre parole, se l’ipotesi è avvalorata dalla prova, e se la prova è vera, segue che l’ipotesi è vera. Notiamo che così si dà per scontato che l’assassino sia l’ultima persona entrata nell’ufficio della titolare, il che è tutto da dimostrare. Perciò dovremmo più correttamente assegnare a e e h i seguenti significati:
e: “La prova (cioè, la testimonianza) conferma l’ipotesi h”. h: “R era presente sul luogo del delitto”.
Avendo chiarito il significato dei termini che impiegheremo, veniamo a una questione di merito fondamentale. Il punto è che, fermo restando che lo schema argomentativo è ancora quello del modus ponens, l’inferenza che abbiamo presentato sopra non è deduttiva, ma induttiva. Lo schema è dunque:
La linea doppia che separa la conclusione dalle premesse indica, appunto, che la conclusione è soltanto probabile; inoltre, la probabilità della conclusione è inferiore a quella delle premesse e dipende da una variabile, per così dire, latente, ma con la quale dobbiamo fare i conti: la probabilità a priori che l’ipotesi h sia vera, indipendentemente da e. Pertanto – questo è il cardine di tutta l’analisi che svolgeremo – nella ricerca di una “certezza di là da ogni ragionevole dubbio” il risultato di una prova a carico di un individuo che abbia a priori una probabilità molto bassa di essere colpevole è dovuta probabilmente più a un errore della prova che a un’oggettiva colpevolezza. Per analizzare razionalmente il caso, dobbiamo trovare il modo di esprimere la probabilità dell’ipotesi h in funzione dei dati disponibili. Consideriamo dapprima la probabilità che gli enunciati h ed e siano veri congiuntamente. Se i due enunciati non sono indipendenti, si ha che: dove La probabilità dei due eventi congiunti può anche essere scritta in questo modo: dove Pr(e) e Pr(h/e) sono, rispettivamente, la probabilità dell’evidenza e la probabilità a posteriori dell’ipotesi h. Poiché Consideriamo ora che il testimone potrebbe riconoscere il rappresentante R, qualora effettivamente fosse stato presente nella serra, con una certa probabilità, poniamo del 70%; ma potrebbe anche “riconoscere” R pur avendo visto in realtà soltanto una persona somigliante. Ammettiamo che questa probabilità sia del 40%: dipende molto dalla persona, dal tempo che è trascorso tra il fatto e la testimonianza, dal modo in cui la testimonianza è stata raccolta ecc. In altre parole, l’impiegata potrebbe dire “l’ho visto” sia nei casi cosiddetti “veri positivi”, qualora R sia stato veramente presente sul luogo del delitto, sia in quelli cosiddetti “falsi positivi” in cui R, assente, viene dato dalla testimonianza, erroneamente, come presente. La probabilità dell’evidenza Pr(e) risulta dunque dalla somma di due contributi: dove con ¬h si è indicata la negazione dell’ipotesi h. Sostituendo la [4] nella [3] si ha: La [5] è la celebre formula del canonico Thomas Bayes (1702-1772) che ci consente di calcolare una probabilità condizionale Pr(h/e) tramite la sua inversa Pr(e/h), sempre che si sia in grado di assegnare un valore a Pr(e/h) e a Pr(e/¬h).
Torniamo al nostro caso di cronaca. Se vogliamo esprimere un giudizio razionale sull’ipotesi che il rappresentante fosse effettivamente presente sul luogo del delitto, le parole del linguaggio naturale dovranno cedere il posto ai simboli del calcolo, come voleva Leibniz. In altri termini, dovremo assegnare dei valori ai seguenti parametri:
Pr(e/h) Pr(e/¬h) Pr(h) Pr(¬h)
L’affidabilità della prova, cioè della testimonianza dell’impiegata, potrebbe essere determinata mediante una serie di esperimenti. Non potendolo fare (in fondo siamo solo dei lettori di giornale, anche se fermamente determinati a pensare razionalmente), prendiamo per buoni i valori sopra ipotizzati: Pr(e/h) = 70%; Pr(e/¬h) = 40%. Per calcolare la probabilità di colpevolezza a posteriori Pr(h/e), cominciamo con il calcolare, in base ai soli indizi, la probabilità di colpevolezza a priori Pr(h). Chiamiamo allora p e q, rispettivamente, le caratteristiche che contraddistinguono il probabile assassino: la formula sanguigna e il giornale preferito. Apprendiamo dallo stesso articolo di cronaca che il gruppo sanguigno A presenta una frequenza, quindi una probabilità statistica, Pr(p) pari al 47%. Per quanto riguarda il giornale, possiamo immaginare che passi per le mani del 30% dei cittadini: Pr(q) = 30%.[1] Se non siamo soddisfatti di questo valore euristico, possiamo recarci in quella città, fare un’indagine a campione e riportare nei calcoli il valore così trovato. Domandiamoci ora quale sia la probabilità di trovare congiuntamente le caratteristiche p e q in una stessa persona. Non abbiamo ragione di ritenere p e q dipendenti l’uno dall’altro, perciò possiamo applicare la cosiddetta regola speciale della congiunzione: Nel nostro caso:
A questo punto possiamo calcolare le probabilità che le tracce di caratteristiche p e q siano proprio del rappresentante e che dunque lui sia l’assassino (le tracce di sangue sono nelle unghie della vittima). Se N è il numero delle persone che possono essere entrate nella serra e lui è una di quelle, la probabilità a priori – dati quegli indizi – che il rappresentante sia l’assassino è:
Evidentemente, tale probabilità è tanto maggiore, quanto più quelle caratteristiche sono rare, cioè quanto più
Pr(e/h) = 70% Pr(e/¬h) = 40% Pr(h) = 23,6% Pr(¬h) = 76,4%
Introducendo questi valori nella [5] si ha:
Pr(h/e) = 35%
Dunque, l’assassino della serra non è assolutamente identificato con ragionevole certezza, anche se la prova è “affidabile” al 70%. L’analisi razionale dei dati disponibili ci consente però di affermare che:
a. Il rappresentante, dati gl’indizi a suo carico, ha una probabilità a priori Pr(h) di essere l’assassino della signora pari al 23,6%. b. Il rappresentante, dati gli indizi e le prove a suo carico, ha una probabilità a posteriori Pr(h/e) di essere l’assassino della singora pari al 35%.
A questo punto sembra ragionevole approfondire le indagini: per esempio, trovando un movente che, associato agli altri indizi, faccia aumentare il valore di Pr(h), che figura a numeratore della (5). Se, per esempio, risultasse che la signora aveva manifestato l’intenzione di rompere la relazione, bisognerebbe mettere nel conto la probabilità che l’amante che sente incombere su di sé lo spettro dell’abbandono possa diventare un assassino. Si potrebbe anche verificare se il rappresentante è un assiduo lettore di Umberto Eco. O, banalmente, si potrebbe ricorrere al test del Dna, al posto di quello del sangue. Se non si riesce ad aumentare il valore di probabilità a priori a favore dell’ipotesi che il rappresentante si trovasse nella serra, il suo proscioglimento sembra la cosa più ragionevole. Se invece, si riuscirà a dimostrare (eventualmente, anche attraverso una confessione)[3] che era presente nella serra, ma egli negasse di essere l’assassino, è ragionevole chiedere al rappresentante nuovi indizi (che prima aveva taciuto) che lo scagionino, sempre che vi siano.
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Analisi | Uno dei primi esempi di analisi probabilistica degl’indizi in sede di procedimento giudiziario è dato dall’affaire Dreyfus. Com’è noto, il caso nasce con l’intercettazione di un elenco (un “bordereau”) d’informazioni militari indirizzato a un addetto dell’ambasciata tedesca di Parigi. Il fatto risale al 1894, quando ancora cocente è il ricordo dell’occupazione tedesca di Parigi. I sospetti si appuntano ben presto su A. Dreyfus, che è alsaziano, ebreo, intelligente e solitario. In effetti, la sua grafia è simile a quella del bordereau, così affermano due grafologi dilettanti ai quali il documento è stato consegnato, per una prima valutazione. In seguito A. Bertillon, direttore del laboratorio di analisi della Prefettura di polizia, riceve l’incarico di svolgere una nuova perizia: riconosce che le due grafie, quella di Dreyfus e quella del documento, sono dissimili, ma fa l’ipotesi di “autofalsificazione”. Dreyfus, in altre parole, avrebbe contraffatto la sua stessa grafia ricorrendo a un metodo che Bertillon asserì di esser riuscito a scoprire. Il perito fece una ricostruzione della trasformazione di una grafia nell’altra “genialmente folle” (così ci si espresse, in seguito, quando il caso fu riconsiderato) e ne presentò i risultati ai giurati su base probabilistica. In base a quella perizia, Dreyfus fu giudicato colpevole, perciò venne degradato e inviato nella Guyana, perché scontasse la pena dei lavori forzati. Dodici anni dopo, si ebbe una revisione del processo, con esito favorevole a Dreyfus, grazie anche alla controperizia di J.-H. Poincaré, il grande matematico francese. Egli non negò che la grafia del bordereau coincidesse straordinariamente con quella di Dreyfus, opportunamente artefatta secondo la procedura ipotizzata da Bertillon, ma criticò il metodo con cui il problema era stato affrontato. Di fatto, Bertillon aveva dimostrato la probabilità di certi effetti (quel tipo di grafia sul bordereau) come conseguenza di certe cause (la grafia vera di Dreyfus + il processo di contraffazione). Invece bisognava dimostrare proprio il contrario, la probabilità che Dreyfus fosse la causa di quella lettera intercettata dal servizio di controspionaggio francese. Come nell’esempio del delitto nella serra, il punto è che occorre dimostrare Pr(h/e), in base allo schema d’inferenza induttiva che abbiamo visto all’inizio del capitolo. In questo caso il significato dei simboli è il seguente:
h: Il bordereau è stato scritto da Dreyfus. e: L’applicazione del metodo di Bertillon alla grafia dei manoscritti autentici di Dreyfus fornisce la grafia del bordereau.
Invece di calcolare Pr(h/e) Bertillon aveva calcolato Pr(e/h). Si noti, infine, che nel caso di Dreyfus il calcolo di Pr(h/e) avrebbe richiesto la conoscenza della probabilità a priori che Dreyfus avesse scritto il bordereau, ma – come affermò Poincaré – tale probabilità «è costituita unicamente da elementi morali che sfuggono in maniera assoluta al calcolo». Perché allora i giurati avevano in precedenza condannato Dreyfus? Per molte ragioni, non escluse – come affermano gli storici – le pressioni derivanti da un certo clima politico allora in auge. Ma a noi interessa rilevare che i giurati decisero anche in buona fede. Rimasero, infatti, strabiliati dalle concordanze tra la grafia di Dreyfus “autofalsificata” e quella del bordereau, così come le aveva presentate Bertillon.Ma non furono in grado – a differenza di Poincaré – di capire che poteva esserci qualcosa di fondamentalmente sbagliato nel ragionamento di Bertillon. Invece di attenersi al problema posto in questi termini argomentativi: e di analizzare la forza inferenziale dell’argomentazione, i giurati fecero propria la conclusione di un argomento dialettico implicito, basato sul principio di autorità (cfr. cap. 7, § 7.6.5):
1. Gli scienziati autorevoli asseriscono ipotesi vere. 2. Bertillon è uno scienziato autorevole. –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– 3. Bertillon asserisce un’ipotesi vera.
Se le premesse fossero vere, anche la conclusione sarebbe vera, perché quest’argomento ricadrebbe nel novero dei 19 sillogismi validi: sillogismo di prima figura in Barbara (cfr. cap. 3, § 3.2). Infatti, si riconosce facilmente che la premessa 1. è un enunciato categorico affermativo universale (A); anche la premessa 2. è un enunciato di tipo A, perché nella teoria del sillogismo gli enunciati singolari si traducono come enunciati categorici universali, come abbiamo visto nel cap.3, § 3.2. Per questa stessa ragione è di tipo A anche la conclusione. Ora, il punto di tutta la questione è che in un argomento basato sul principio di autorità la premessa 2 può rivelarsi inopinatamente falsa. Se, con il senno del poi (o anche per convinta insofferenza nei confronti del principio d’autorità), noi neghiamo la premessa minore, la conclusione 3 è manifestamente falsa. Nelle dispute medievali si diceva proprio così: “nego minorem!”. Per la cronaca, conosciamo il nome del vero autore di quell’informativa: un tale M.-C.-F. Esterhazy, ufficiale in perenne sofferenza economica e di sentimenti livorosi nei confronti dei francesi (era anch’egli francese, ma d’origine ungherese), reo confesso, poi riparato in Inghilterra.
[1] Le probabilità di essere insieme lettori di quel giornale ed estimatori di Umberto Eco sono ancora inferiori. È evidente che la posizione del rappresentante si aggraverebbe, se si potesse dimostrare che possiede l’opera omnia di Umberto Eco. [2] La scelta del numero N delle persone alle quali si attribuisce la qualifica di “casi possibili ed equiprobabili” costituisce un aspetto critico di molte questioni simili. Per questa ragione l’iniziativa di creare una banca dati che descriva le caratteristiche del Dna dei potenziali delinquenti incontra serie obiezioni metodologiche, se utilizzata per circoscrivere il numero N. Infatti, così facendo, si seleziona una cerchia precostituita di sospetti (coloro che sono stati condannati) e si escludono tutti coloro che avrebbero eguali probabilità di essere indiziati, e che tuttavia non sono stati catalogati in quella banca dati. Si escludono inoltre i parenti dei sospetti, che potrebbero avere lo stesso Dna e non si considera la possibilità di mescolanza di tracce appartenenti a persone diverse. In quest’esempio abbiamo ipotizzato che la serra si trovi in una cittadina piccola e tranquilla. In una città più grande e meno “tranquilla” le probabilità a carico del rappresentante sarebbero, evidentemente, ancora inferiori. [3] La stessa confessione, tuttavia, ha un valore di verità probabilistico, soprattutto in certi procedimenti giudiziari, per esempio quelli per terrorismo. Cfr. I. Stewart, The Interrogator’s Fallacy, in “Scientific American”, Sept. 1996, pp. 172-175.
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è la probabilità che h ed e siano veri congiuntamente, Pr(h) è la probabilità a priori dell’ipotesi h e Pr(e/h) è la probabilità dell’evidenza (si legge “probabilità di e, dato h”): in questo caso, è la probabilità che R sia effettivamente riconosciuto dal teste, se veramente era presente nel luogo del delitto. La formula [1] corrisponde alla cosiddetta
eguagliando la [1] e la [2] otteniamo quest’espressione della probabilità a posteriori dell’ipotesi h:
è piccolo; ed è tanto minore, quanto maggiore è il numero delle persone che possono, a vario titolo, essersi introdotte nell’ufficio dopo l’ora di chiusura, o poco prima. Uno di questi è proprio il rappresentante, che godeva della fiducia della signora. La serra è alle porte della città, isolata, perciò possiamo ipotizzare che le persone che avrebbero potuto entrarvi, a un’ora in cui la signora si sarebbe ben guardata dall’aprire al primo venuto, siano una trentina. Questo numero comprende gli stretti conoscenti della signora e alcuni abili scassinatori che sarebbero in grado di forzare la serratura senza lasciare tracce di effrazione. Si ha allora che Pr(h), la probabilità a priori che il rappresentante sia l’assassino della signora, è Pr(h) = 1/(30 x 0,141) = 23,6%.