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.	Modelli per ragionare: il paraboloide iperbolico
	Indice   1.  Rappresentazioni di un’equazione: modelli mentali, disegni prospettici e modelli fisici 2.  Richiami sulle quadriche 3.  Costruzione del modello fisico: impostazione del lavoro 4.  La struttura di sostegno 5.  I “punti di appoggio” dei fili sulla struttura di sostegno 6.  Il concetto di superficie rigata 7.  Individuazione dei punti coniugati nella struttura di sostegno
	1.  Rappresentazioni di un’equazione:      modelli mentali, disegni prospettici e modelli fisici
Disegno prospettico (assonometria) di un paraboloide iperbolico (da O. Chisini, Lezioni di geometria analitica e proiettiva, Zanichelli, Bologna 1962).	Quando frequentavo il biennio della facoltà di ingegneria, i calcolatori erano macchine molto ingombranti e utilizzarli per fini didattici in una comune aula univeristaria era impensabile. Per i professori di matematica il mezzo principe per comunicare con gli studenti era ancora la voce al naturale, non registrata e non amplificata, con il solo sussidio della lavagna (la lavagna nera, in ardesia, non la lavagna luminosa) che, nelle aule più grandi, ad anfiteatro, era in realtà un sistema di lavagne scorrevoli l’una sull’altra. Così, all’occorrenza, si potevano richiamare all’attenzione dell’uditorio le formule e i disegni annotati in precedenza. Fondamentalmente, i professori si adoperavano perché si formassero in noi dei modelli mentali che, idealmente, avremmo dovuto conservare per il resto della nostra vita o, quanto meno, fino al giorno dell’esame. Alcuni professori, più che mai compresi dell’assioma sensista “Nihil est in intellectu, quod prius non fuerit in sensu” erano diventati bravissimi nell’arte di usare il gessetto, con il quale tracciavano linee straordinariamente diritte e cerchi perfetti. Mi domandavo come potessero essere così abili. Solo in seguito trovai una risposta plausibile: si esercitavano di nascosto su quelle enormi lavagne, a ora tarda, quando non c’erano più gli studenti che li osservassero. In ogni caso, per quanto fossero bravi nel disegno, sapevano bene che rappresentare efficacemente sulla lavagna una quadrica può essere molto difficile, soprattutto se si tratta di un paraboloide iperbolico. Infatti, il disegno prospettico che il professore poteva tracciare sulla lavagna era più o meno un disegno come quello presentato qui sotto, che ho ripreso dal mio libro di geometria analitica e proiettiva, quello di allora. Questo disegno è chiarissimo per chi abbia già depositato nella sua mente il modello del paraboloide iperbolico (detto anche “sella”), ma non è detto che sia perspicuo agli occhi dello studente che quel modello mentale deve ancora formarselo.
	Ma più efficace di un disegno prospettico è un modello fisico. Sarà il modello fisico a depositare un’immagine più o meno indelebile nella nostra mente (dipende dalla sua “impressionabilità”, dalla nostra attenzione e dal nostro interesse). Proprio per questo, perché nelle nostre giovani menti si imprimesse il ricordo delle forme geometriche delle quadriche, erano stati collocati in un corridoio dell’Istituto alcuni modelli: alcuni erano in gesso, altri erano “modelli in fili”. Precisamente, erano modelli in fili quello dell’iperboloide a una falda e quello del paraboloide iperbolico, che si prestano benissimo a una modellizzazione siffatta, essendo le loro superfici, come vedremo, “rigate”. Quante cose non si capivano guardando bene questi due modelli, in particolare se li si osservava da punti di vista diversi! Erano cose che non avremmo mai potuto intuire limitandoci a osservare un disegno tracciato sulla lavagna, se non con sforzi di immaginazione che, oltretutto, potevano essere fuorvianti, nel senso che c’era il rischio d’infilarsi in qualche tunnel mentale che ci avrebbe portato a un’idea completamente sbagliata.
Modello in fili di un paraboloide iperbolico: la struttura di sostegno è in legno, i fili sono cordicelle di seta in tensione.	Quei modelli, realizzati stendendo dei fili in acciaio su una struttura di sostegno anch’essa in acciaio, erano bellissimi, certo, perché usciti dalle mani di artigiani provetti, costruzioni perfette, senza una sbavatura, ma soprattutto erano “divini”, per così dire, perché rappresentavano equazioni matematiche. Nel mio ricordo, sono molto più belli di quello accanto, presentato in una tavola fuori testo di quel mio libro (in realtà, la foto era in bianco e nero): segno che il suo autore, il professor Chisini, era del parere – anche lui – che un disegno prospettico non sarebbe stato sufficiente a depositare nella mente del lettore un’immagine adeguata della quadrica. Tanto per cominciare, i fili qui sono in seta, e non in acciaio, e poi questa è l’immagine di un oggetto reale, una sua proiezione sul piano della macchina fotografica. Invece i modelli dei quali conservo il ricordo sono proiezioni nella mia mente, hanno perso ogni relazione con la greve materialità. I ricordi di quei modelli sono diventati idee di equazioni matematiche. Fantasticando un po’ sulla scia di quei ricordi potrei temerariamente affermare che, se quei modelli non fossero stati inclusi in una teca di vetro (o era di cristallo?), avrei potuto sentirne il suono. Infatti, i fili erano tesi come corde di chitarra. Chissà, sarebbe stato sufficiente pizzicare con l’unghia uno di quei fili, perché tutti cominciassero a vibrare: tutti quelli appartenenti al modello di una data quadrica. Mi immagino che l’iperboloide a una falda (detto anche “iperboloide iperbolico”) dovesse avere un “suo” suono e il paraboloide iperbolico un altro “suo” suono. Ma questa è una libera (e confusa) interpretazione della concezione pitagorica dell’armonia dell’universo, basata su reminiscenze liceali.
La Madonna Sistina di Raffaello (Gemäldegalerie, Dresda).	Passarono gli anni e poco per volta quei modelli divennero per me importantissimi: come la Madonna Sistina di Raffaello ha rappresentato nell’Ottocento per migliaia di romantici visitatori della Gemäldegalerie di Dresda l’essenza di una perfetta, virginea e pudica femminilità, così per me quei modelli rappresentavano la perfezione matematica. Il fatto è che, andando avanti negli studi d’ingegneria, non riuscivo a farmi piacere le approssimazioni della tecnica; in particolare non mi piacevano gli sviluppi in serie di Taylor che a ogni piè sospinto ci proponevano i professori del triennio. Infatti, per semplificare le formule e renderci più facile la vita, i professori facevano una specie di gioco di prestigio: sostituivano una funzione (quasi sempre la funzione senx) con una serie polinomiale infinita. Quindi, arrestando lo sviluppo polinomiale, per esempio, al terzo ordine, si riusciva ad approssimare localmente la funzione data, e la formula risultava molto più maneggevole. È vero, i calcoli si semplificano, la nostra vita pure, ma l’intelletto ne soffre. Il mio ragionamento doveva essere più o meno questo: se quei modelli in fili, pur materiali, erano o quanto meno apparivano perfetti, perché mai dovremmo rinunciare alla perfezione matematica allorché manipoliamo i concetti matematici? Naturalmente, non pretendo oggi che la questione, così formulata, meriti una risposta.
Il Padiglione Philips realizzato da Le Corbusier per l’Esposizione universale di Bruxelles del 1958. Come si vede nello schizzo dell’architetto, in basso  a destra, il padiglione è determinato dall’intersezione di un insieme di falde di paraboloide iperbolico. Nelle pagine successive, dopo aver analizzato le proprietà del paraboloide iperbolico, presenteremo un metodo di calcolo per la determinazione dei punti delle strutture di sostegno tra i quali è possibile stendere degli elementi rettilinei, il cui inviluppo costituisce la superficie del parabolide. Tali elementi possono essere i fili del modello o anche i travetti di un edificio le cui parti siano sagomate come falde di paraboloide iperbolico. Il metodo di calcolo è giustificato razionalmente e illustrato con alcune considerazioni geometriche intuitive.	Sia come sia, trascinata nel fango, la mia mente nutrita di suggestioni estetiche preponderantemente foscoliane cercava una qualche forma di compensazione rievocando il nitore di quei modelli in acciaio, che poi – almeno per me – era il nitore della matematica “perfetta”. Non faccio fatica a riconoscere che il valore didattico di quei modelli in fili è oggi pareggiato dai modelli prospettici che è possibile evocare sullo schermo di un computer, utilizzando uno dei tanti programmi oggi disponibili, alcuni anche gratuitamente. Una volta scaricato il programma, è sufficiente introdurre l’equazione desiderata, ed ecco la rappresentazione prospettica della superficie, accuratissima nelle campiture di colore, certamente più rappresentativa del disegno che il mio professore poteva tracciare sulla lavagna. Inoltre, manovrando il topo (mouse) del computer, possiamo far ruotare l’immagine sullo schermo, il che è del tutto equivalente al girare intorno al modello in fili. Ciò premesso, avendo riconosciuto a Cesare quel che è di Cesare, io continuo a preferire quei modelli in acciaio dei miei anni verdi. E, in mancanza di quelli, mi contento del modello che costruii con le mie mani circa vent’anni fa. Prima però di descrivere la realizzazione del modello, credo che sia opportuno fare qualche cenno di richiamo sulle quadriche.
	continua ®

Comminus eminus - 28 agosto 2005