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La dimostrazione per assurdo[Nota: per leggere correttamente i simboli logici e matematici aprire la pagina con Internet Explorer (altri browser potrebbero non riconoscere correttamente i caratteri Symbol).] | |||||||||||||||||||||||||
Indice
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Premessa | Il procedimento di dimostrazione per assurdo (reductio ad absurdum) era già conosciuto da Pitagora (VI-V sec. a.C.). Parmenide e il suo discepolo Zenone (entrambi del V sec. a.C.) vi fecero abbondantemente ricorso: il primo per dimostrare l’immutabilità, l’immobilità, l’indivisibilità e l’unicità dell’essere e pervenire alla conclusione che la realtà può essere colta soltanto attraverso la riflessione razionale; il secondo per dimostrare ulteriormente l’immobilità e l’indivisibilità con i suoi famosi paradossi.[1] Vi fece ricorso Aristotele (IV sec. a.C.), per confutare le posizioni filosofiche contrarie al suo sistema di pensiero. Secoli dopo, Galileo utilizzerà ancora la dimostrazione per assurdo – nel suo Dialogo sui massimi sistemi (1632) –, questa volta per confutare le posizioni degli aristotelici. Infine, tutta la discussione sulle antinomie che Kant sviluppa nella sua Critica della ragion pura (1781) si basa sul procedimento di dimostrazione per assurdo.
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Fondamenti logici
Nella dimostrazione per assurdo, dovendosi dimostrare che una certa tesi T è vera, si assume invece che sia vera l’antitesi, cioè il contrario della tesi. Di qui si deduce una serie di conseguenze contraddittorie o errate. E poiché queste conseguenze sono errate, ne risulta che sono errate le premesse a partire dalle quali sono ricavate, in particolare l’antitesi. | |||||||||||||||||||||||||
Modus tollens | Lo schema di ragionamento è sostanzialmente ancora quello del cosiddetto modus tollens: il quale – ricordiamo – è una forma di sillogismo, cosiddetto ipotetico.[2] Cioè, tanto per intenderci, un sillogismo del tipo: “Se Giulia è felice, allora sorride. / Giulia non sorride / Dunque Giulia non è felice”. Lo schema generale del modus tollens è il seguente:
p ® q ¬q ––––––––– ¬p
dove il segno à è il simbolo logico di implicazione (se… allora…) e il segno ¬ è il simbolo logico di negazione. Una proposizione come p ® q è dunque una proposizione ipotetica, perciò il modus tollens è un sillogismo ipotetico. Possiamo leggere lo schema del modus tollens in questi termini: “Se la proposizione p è vera, allora è vera anche la proposizione q. Ma la proposizione q è falsa. Allora è falsa la proposizione p.” Dunque attraverso la negazione del conseguente q si perviene alla negazione dell’antecedente p. | ||||||||||||||||||||||||
Sviluppo | Nel ragionamento per assurdo dall’antitesi ¬T si sviluppa una conseguenza ¬H che è in contraddizione con un’ipotesi ritenuta vera o con un’altra conseguenza ottenuta da ¬T introducendo un’ipotesi ritenuta vera. Ma H è vera. Dunque è falsa l’antitesi che comporta ¬H. Ecco lo schema del modus tollens adattato alla dimostrazione per assurdo:
¬T ® ¬H H ––––––––– T
Anche in questo caso la negazione del conseguente (che qui è ¬H: la seconda premessa del modus tollens, H, può essere letta come ¬(¬H)) comporta la negazione dell’antecedente (che qui è ¬T: la conclusione del sillogismo ipotetico, T, può esser letta come ¬(¬T)).
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Dimostrazione dell’irrazionalità della radice quadrata di 2
Ma vediamo un caso concreto, la dimostrazione dell’irrazionalità della radice quadrata di 2 (o, anche, dell’incommensurabilità della diagonale di un quadrato con il suo lato, ed è precisamente in questi termini che Aristotele ci presenta la dimostrazione per assurdo). Presentiamo subito lo schema del ragionamento, che commenteremo subito dopo. | |||||||||||||||||||||||||
| T Å ¬T Principio del terzo escluso |
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Sviluppo dell’argomentazione | Sviluppiamo il ragionamento di dimostrazione passo passo, in base allo schema riportato qui sopra, dove ogni passo del ragionamento è numerato progressivamente, da 1 a 6: il passo 1 corrisponde alla fascia verdolina in alto, il passo 2 corrisponde alla fascia cilestrina sottostante ecc. Ecco dunque il ragionamento: 1. Una proposizione P o è vera o è falsa, per il principio del terzo escluso. In logica si scrive: P Å ¬P dove il simbolo Å significa “oppure”[3] e il simbolo ¬ significa, anche in questo caso, “non”. Dunque al passo 1 del nostro ragionamento affermiamo: “La proposizione P è vera, oppure P non è vera”. Questo è un principio generale, e vale anche per la tesi T che intendiamo dimostrare: T Å ¬ T. 2. A questo punto affermiamo la nostra tesi T: affermiamo cioè che Ö2 è un numero irrazionale. In altre parole, siano m e n sono due numeri interi e positivi. Sarà allora: Ö2 ¹ m/n Questa relazione significa che non è possibile esprimere Ö2 come rapporto di due interi. In questo senso si dice, appunto, che Ö2 non è razionale (ratio in latino significa “rapporto”). Poiché però non siamo capaci di dimostrare la nostra tesi T con un’argomentazione diretta, concediamo che sia vera la tesi opposta ¬T (antitesi), che cioè Ö2 sia un numero razionale. Ci proponiamo di verificare che l’affermazione dell’antitesi comporta logicamente una conseguenza, o un insieme di conseguenze, in contraddizione con il resto delle nostre conoscenze (con ipotesi che sono accettate come vere).[4] Dunque abbandoniamo (per il momento) la tesi T e spostiamoci nello schema qui sopra a destra della linea spessa verticale, nel ramo dell’antitesi ¬T. Cioè, sia Ö2 = m/n e, conseguentemente, sia 2 = m2/n2. 3. Il terzo passo del nostro ragionamento fa nuovamente ricorso al principio del terzo escluso. Perciò nello schema tracciamo una seconda linea verticale (in tratto più sottile). Infatti, possiamo ipotizzare che m sia dispari, o che sia pari. Chiamiamo queste due ipotesi, rispettivamente, Q e ¬Q. Ammettiamo che Q sia vera (m è dispari) e sviluppiamo le conseguenze di questa affermazione (nello schema, a sinistra della linea verticale sottile). Lo stesso faremo in seguito per ¬Q. 4. Dunque, se m è dispari, anche m2 sarà dispari. Questa proposizione (chiamiamola H) è conseguenza di quanto si è affermato al passo 3, applicando la ben nota proprietà dei numeri, per cui il quadrato di un numero dispari è anch’esso dispari. 5. Abbiamo visto però, al passo 2, che 2 = m2/n2: dunque m2 = 2n2 e, quale che sia il valore di n, m2 risulta – in base al passo 2 – pari. Così affermiamo ¬H. 6. Dunque le proposizioni 4. e 5. sono in contraddizione, e questo è precisamente ciò che significa il crocino (×) nell’ultima fascia cilestrina del nostro schema. In altre parole, se m è dispari, l’antitesi ¬T non è accettabile.
Verifichiamo a questo punto se per caso l’antitesi possa esser vera quando m sia pari. Spostiamoci dunque a destra della linea verticale sottile, riprendendo il ragionamento dal livello 3 del nostro schema. 3¢. Ammettiamo che ¬Q sia vera (m è pari) e sviluppiamo le conseguenze di questa affermazione. 4¢. Dalla 3¢ segue che m2 è pari, quindi è divisibile per due, una o più volte. In altre parole, scomponendo m2 in fattori, risulta che m2 contiene il fattore 2 un numero pari di volte (e anche questa è una proprietà dei numeri). Chiamiamo H questa conclusione. 5¢. Abbiamo visto però, al passo 2¢, che 2 = m2/n2: dunque m2 = 2n2, pertanto m2 contiene il fattore 2 un numero dispari di volte (se n è pari) o una sola volta (se n è dispari). Così neghiamo H. 6¢. Dunque le proposizioni 4¢ e 5¢ sono in contraddizione. In altre parole, l’antitesi ¬T non è accettabile, neanche se m è pari.
Abbiamo dimostrato che l’antitesi ¬T non è sostenibile in nessun caso, dunque la tesi T è vera.
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Il quinto postulato di Euclide | Una dimostrazione geometrica
Nell’esempio di dimostrazione per assurdo che ci proponiamo di sviluppare (attribuita a Posidonio di Apamea, matematico greco del I sec. a.C.) si ricorre al quinto postulato di Euclide, come ipotesi esterna H, in contrasto con una conseguenza (¬H) dell’affermazione dell’antitesi ¬T. | ||||||||||||||||||||||||
Breve digressione sul quinto postulato di Euclide A sua volta il quinto postulato è stato oggetto di dimostrazione, a partire dai primi quattro postulati di Euclide (sempre con il procedimento di riduzione all’assurdo). Ecco il quinto postulato: In un piano, per un punto fuori di una retta si può condurre una e una sola parallela a una retta data.[5] Osserviamo che due rette sono parallele, quando – prolungate indefinitamente – non s’incontrano mai: dunque il quinto postulato adombra in qualche modo la nozione di infinito. Per questo fu sempre ritenuto problematico.[6] Notevole, in particolare, il contributo del gesuita Giovanni Gerolamo Saccheri, il quale pubblica nel 1733 il suo Euclides ab omni naevo vindicatus (che sarebbe come dire “Euclide rivisitato e ripulito di ogni neo”), dove il quinto postulato è dimostrato per assurdo. La sua dimostrazione, che pure – a detta dei matematici odierni – presenta anch’essa qualche “neo”, è fondamentale nella storia della matematica perché prelude alla fondazione delle geometrie non euclidee. Ciò premesso, consideriamo un esempio compiuto di dimostrazione geometrica per assurdo.
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Dimostrazione per assurdo della proposizione di Posidonio | Posidonio afferma: Due rette parallele a una terza sono parallele fra loro. Questa proposizione è stata considerata un equivalente del quinto postulato di Euclide, ma non lo è. È invece una conseguenza del postulato, perché può essere dimostrata a partire da esso, mediante un procedimento – appunto – di ragionamento per assurdo. Eccolo:
Dunque, poiché l’accettazione dell’antitesi comporta una contraddizione, è vera la tesi T: due rette parallele a una terza sono parallele fra loro.
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Il paradosso di Achille e della tartaruga
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Crudele Zenone | Come abbiamo anticipato nella nota 1, uno degli argomenti di Zenone contro il movimento è quello – ben noto – di Achille e della tartaruga: uno dei paradossi dialettici più conosciuti, che ha incantato generazioni di filosofi. Perché è evidente che se Achille – il piè veloce – si impegna in una gara di corsa con una tartaruga, non durerà fatica a raggiungerla. Eppure il paradosso afferma proprio questo. Ma così son fatti i paradossi di Zenone, come quello della freccia che non si sposta, e non raggiungerà mai il bersaglio contro il quale è scagliata. Paradossi che fecero scrivere a Paul Valéry:
P. Valéry, Le cimitière marin
Ma che cosa affermava Zenone? Ecco il suo argomento, basato sul procedimento per riduzione all’assurdo:
Ammettiamo che Achille sia 10 volte più veloce della tartaruga, che i due contendenti partano nel medesimo istante, e che la tartaruga goda di un vantaggio di 100 m. Ora, mentre Achille guadagna 100 m che lo separavano inizialmente dalla tartaruga, questa si sarà portata avanti di 10 m. Per raggiungere la tartaruga Achille dovrà colmare questa nuova distanza: ma nel tempo a ciò necessario, la tartaruga sarà avanzata di 1 m. E quando Achille avrà superato questo metro, la tartaruga sarà avanzata di 0,1 m. E così via: avverrà così che Achille per quanto rincorra la tartaruga, non riuscirà mai a raggiungerla.
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Somma di una successione di infiniti termini | Bene, questo ragionamento da un punto di vista logico non fa una grinza. Ma arriva a una conclusione sbagliata, perché introduce un’ipotesi H (nel significato chiarito precedentemente) che è assunta come vera, ma che invece è falsa. Zenone ci obbliga a infilarci in un tunnel mentale, in un pregiudizio (soprattutto vi ha obbligato generazioni di filosofi ignari degli sviluppi della matematica dell’Ottocento, che doveva ancora venire). Qual è questo pregiudizio? Il ritenere che la somma di una successione di infiniti termini tenda anch’essa all’infinito. Sappiamo invece (oggi!) che ci sono le serie convergenti. Comunque, ecco il ragionamento di Zenone ricondotto nella forma canonica del ragionamento per assurdo:
Il ragionamento è fallace, anche se l’inferenza è corretta. Ma il punto è che si è assunta una premessa falsa. Se l’ipotesi H fosse vera, sarebbe vera la tesi T. E invece no: anzi, siamo in grado di dimostrare che è vera l’antitesi ¬T: Achille raggiungerà la tartaruga in un certo istante e a una certa distanza dalla posizione iniziale della tartaruga. | ||||||||||||||||||||||||
Convergenza della serie 100 + 10 + 1 + 0,1... | Infatti, è vero che la successione 100, 10, 1, 0,1... è infinita, cioè – letteralmente – senza un termine, cioè “senza fine”. Ma la serie costruita sommando gl’infiniti elementi di detta successione è convergente al numero finito 1000/9, che è un numero più grande di 111,10 e più piccolo di 111,12. Fra questi due numeri non solo si trova 1000/9, ma si trovano anche infiniti altri numeri (numeri reali, ben inteso, o anche razionali, non certo numeri interi). Pertanto è finita la distanza che Achille dovrà percorrere per raggiungere la tartaruga, e conseguentemente è finito il tempo che Achille impiega a raggiungere la tartaruga. Ma com’è che, esprimendoci con le parole del linguaggio comune, in assenza della matematica, ci infiliamo in un tunnel mentale che ci porta a dar ragione a Zenone? Pur sapendo che se facciamo gareggiare con la tartaruga – non dico Achille – ma lo stesso Benedetto Croce, il vincitore sarà certamente il filosofo! In un altro articolo di questo sito (Idòla fori: si trova nella sezione “Nugae”) si attribuisce tale possibilità all’ambiguità di significato della parola “mai”. | ||||||||||||||||||||||||
Che cosa si proponeva Zenone? | Un’altra domanda potrebbe essere questa: poiché Zenone sapeva benissimo che un qualsiasi filosofo avrebbe raggiunto la tartaruga, che cosa si proponeva veramente di dimostrare con il suo paradosso? Una possibile risposta è quella avanzata autorevolmente da Paul Tannery nella sua Pour l’histoire de la science hellène - De Thalès à Empédocle (1889): gli argomenti di Parmenide e Zenone contro il movimento si appuntavano in realtà contro la concezione di “punto esteso”, cioè contro la descrizione atomistica della retta.
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Una dimostrazione per assurdo di Lucrezio
Lucrezio è un grandissimo poeta, il “poeta della razionalità”. Ama sinceramente la scienza, crede che la vera dottrina (vera ratio) possa scacciare la caligine della superstizione e spingere gli uomini a seguire l’esempio di Epicuro che sfidò il mostro della religione che incombe sui mortali con orribile aspetto: «primum Graius homo mortalis tollere contra / est oculos ausus, primusque obsistere contra» (“per primo un uomo della Grecia ardì sollevare gli occhi / mortali e sfidarla, e per primo drizzarlesi contro”: De rerum natura, I, 66-67). A sua volta, lo sguardo di Lucrezio è penetrante, sia quando osserva i fenomeni della natura che cadono sotto i sensi, sia quando indaga i moti dell’animo umano (l’angoscia, in particolare) e financo i sentimenti che gli animali possono provare, e di fatto provano (l’angoscia della giovenca per il vitellino perduto). | |||||||||||||||||||||||||
Argomentazione logicamente corretta (è un ragionamento per assurdo) ma con inferenza intermedia invalida | Ma il punto debole di Lucrezio (non sembri strano, né offensivo) è l’argomentazione, pur essendo egli abile nell’arte di argomentare. Il ragionamento fila, peccato che si fondi su una premessa sbagliata: qualcosa di simile a quel che abbiamo visto a proposito del paradosso di Zenone. Il fatto è che Lucrezio vuole giustificare razionalmente le sue affermazioni. Troppo facile accontentarsi dei miti – cioè, letteralmente, “favole” –, che poi non sono nient’altro che superstizioni. Lucrezio ambisce a dire non parole, ma cose. Tutto quel che afferma è argomentato, e non alla maniera dei retori, con premesse non sempre vere e inferenze non sempre necessarie. No, le sue spiegazioni sono costruite come dimostrazioni rigorose, con premesse “vere” e inferenze sempre necessarie. Poiché Lucrezio tratta degli atomi, ma non dispone della strumentazione di un moderno laboratorio di fisica, è gioco forza che le sue dimostrazioni non siano dirette. Perciò ricorre spessissimo al procedimento di dimostrazione per assurdo. Il lettore se n’accorge facilmente, perché in questi ragionamenti Lucrezio invariabilmente ricorre al periodo ipotetico del III tipo, quello dell’irrealtà. | ||||||||||||||||||||||||
Niente in natura si distrugge | Vediamo per esempio l’argomento con cui Lucrezio (De rerum nat., I, 238-249) dimostra che «la natura disgrega qualunque cosa nei suoi elementi primi e non la fa perire riducendola al nulla» (… quidquid in sua corpora rursum / dissolvit natura neque ad nilum interemit res: I, 215-216). Disponendo i passi del ragionamento per assurdo nel modo solito (si veda lo schema in basso) vediamo che Lucrezio comincia con il negare la tesi T che intende dimostrare (quindi afferma ¬T); poi deduce da ¬T una proposizione Q1. Quindi opera un’inferenza intermedia: da Q1 deduce un’altra proposizione (chiamiamola Q2). Di qui segue una seconda inferenza, che invece è corretta: da Q2 si ricava Q3, che costituisce la negazione di un’ipotesi H accettata come vera (l’ipotesi H è una realtà di fatto, che tutti possiamo constatare). Poiché Q3 = ¬H e H sono in contraddizione, il ramo di destra del ragionamento si chiude (questo è il significato del simbolo ×). Per il principio del terzo escluso (T Å ¬ T) vale allora la tesi T indicata nel ramo sinistro: nulla può perire interamente e tornare nel nulla.
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Il punto debole di questo ragionamento è l’inferenza che da Q1 porta a Q2, accettata come valida, ma non lo è. Infatti, normalmente, noi riusciamo a disgregare le cose più o meno facilmente, secondo che i loro componenti siano legati fra loro più o meno tenacemente. Così dovrebbe essere anche nel caso in cui si dovesse continuare a disgregare le cose fino nei loro elementi primi, nei primordia rerum, cioè negli atomi. A meno che non si confonda la durevolezza delle parti con la tenacia delle connessioni fra le parti. Ma in ogni caso non si capisce perché si introduca il concetto di una forza disgregatrice “satis acris” in relazione all’eternità degli atomi e non in relazione alla tenacia dei legami , che pure è un’ipotesi plausibile.[7] | |||||||||||||||||||||||||
Il testo originale | Qui termina l’esposizione del procedimento di dimostrazione per assurdo adottato da Lucrezio, almeno per quanto riguarda la tecnica argomentativa. Aggiungiamo tuttavia, per gli amanti del latino, il testo originale e la riformulazione delle parole di Lucrezio nelle proposizioni T, Q1, Q2, Q3, ¬H e H che figurano nel nostro schema. In nota riportiamo la traduzione italiana delle parole latine.
Tesi T da dimostrare Huc accedit uti quidque in sua corpora rursum dissolvat natura neque ad nihilum interemat res.[8]
Dimostrazione Denique res omnis eadem vis causaque vulgo conficeret, nisi materies aeterna teneret, inter se nexus minus aut magis indupedita. Tactus enim leti satis esset causa profecto, quippe ubi nulla forent aeterno corpore, quorum contextum vis deberet dissolvere quaeque. At nunc, inter se quia nexus principiorum dissimiles constant aeternaque materies est, incolumi remanent res corpore, dum satis acris vis obeat pro textura cuiusque reperta. Haud igitur redit ad nilum res ulla, sed omnes discidio redeunt in corpora materiai.[9]
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Trattamento del testo di Lucrezio nella forma di un argomento con reductio ad absurdum | Ed ecco le proposizioni fondamentali del ragionamento di Lucrezio, enucleate dall’originale sopra riportato:
Proposizione T Nulla interimitur res ac ad nilum redit.
Proposizione ¬T Omnia interimuntur ac ad nilum redeunt.
Proposizione Q1 Ergo non ex corporibus aeternis constant res.
Proposizione Q2 Rerum contextum, in quibus nulla essent elementa aeterna, dissolvere deberet vis quaeque.
Proposizione Q3 = ¬H Ergo tactus satis esset causa ut res dissolvantur.
Proposizione H Tactus non est rebus causa leti.
Dalla contraddizione tra ¬H e H segue la negazione della proposizione iniziale (l’antitesi ¬T) e, conseguentemente, l’affermazione della tesi T:
Proposizione ¬ (¬T) = T Haud igitur redit ad nilum res ulla, sed omnes discidio redeunt in corpora materiai.
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[1] I quattro argomenti contro il movimento sono: l’argomento cosiddetto della dicotomia (ciò che si muove deve dapprima raggiungere la metà del percorso, ma prima ancora la metà della metà, e così via); l’“Achille”, cioè il celebre paradosso di Achille e della tartaruga; l’argomento della freccia che non raggiungerà mai il proprio bersaglio; lo “stadio”, cioè l’argomento delle masse che si muovono in uno stadio in senso contrario e a uguale velocità. I due argomenti contro la divisibilità sono: l’argomento della grandezza; l’argomento del numero. [2] Numerosissime sono le varietà di sillogismo. Rivestono particolare importanza com’è noto, i sillogismi categorici (del tipo “Tutti i greci sono mortali. / Socrate è greco. / Dunque Socrate è mortale”). In linea teorica, è possibile costruire 256 tipi di sillogismi categorici, combinando opportunamente proposizioni: 1. universali affermative; 2. universali negative; 3. particolari affermative; 4. particolari negative. In realtà quelli validi sono 24, gli altri sono fallaci. [3] Il simbolo Å è il connettivo logico di disgiunzione, che deve qui essere intesa in senso esclusivo, come in latino aut… aut… Quando invece la disgiunzione è di tipo inclusivo, si utilizza il connettivo di disgiunzione inclusiva Ú corrispondente al latino vel… vel… È possibile esprimere la disgiunzione esclusiva P Å Q utilizzando il connettivo di disgiunzione inclusiva, ricorrendo però a una perifrasi: (P Ú Q) Ù ¬(P Ù Q), dove Ù è il connettivo di congiunzione. Cioè, “aut P aut Q” può anche esprimersi così: “vel P vel Q è vera, ma non si dà il caso che siano vere, simultaneamente, P et Q”. [4] Per essere ancora più espliciti: se la tesi T riguarda una disciplina esatta come la geometria o l’elettrotecnica, si tratta di dimostrare che l’antitesi ¬T è in contraddizione con gli assiomi di tale disciplina (che, per definizione, sono assunti come veri) o con enunciati della stessa disciplina che si è in grado di dimostrare che sono veri. Se invece la tesi T è l’oggetto di una disputa filosofica, e il nostro fine è il convincimento (in senso tecnico) dell’interlocutore, si tratta di dimostrare che l’antitesi ¬T porta ad affermare una proposizione che è in contraddizione con una proposizione che l’interlocutore ritenga vera (ma che non necessariamente è vera per noi). [5] La formulazione originale di Euclide è in realtà diversa da questa, ma equivalente: «Risulti postulato che se in un piano una retta, intersecando altre due, forma con esse, da una medesima parte, angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora queste due rette indefinitamente prolungate finiscono con l’incontrarsi dalla parte detta». [6] Non solo il quinto postulato ricorre (anche se implicitamente) al concetto di infinito, ma per la sua forma (se… allora…) somiglia più a un teorema che a un’affermazione. Euclide stesso – nei limiti del possibile – evitò di utilizzarlo, consapevole della sua problematicità. [7] Certo non si può addebitare a Lucrezio la colpa di non aver tenuto conto delle indicazioni di John Stuart Mill nella ricerca delle cause con metodo induttivo. Ma è pur vero che la sua spiegazione non è per niente evidente e dovrebbe essere essa stessa argomentata. [8] Aggiungi che la natura disgrega di nuovo ogni corpo / nei suoi elementi essenziali, ma non può annientarlo del tutto (vv. 215-216, trad. di Luca Canali). [9] Infine una medesima forza e causa distruggerebbe in massa / tutte le cose, se non le tenesse unite una materia eterna, / più o meno serrata nell’intreccio delle sue connessioni. / Infatti, un semplice contatto sarebbe causa sufficiente di morte, / poiché non vi sarebbero corpuscoli di eterna sostanza [= atomi] / il cui intreccio ogni singola forza dovrebbe dissolvere. / Ma ora poiché connessioni diverse uniscono fra loro / gli elementi primordiali, e la materia è eterna, / le cose si conservano con il loro corpo intatto, finché non s’imbattono / in una forza così irruente da struggere il contesto di ognuna. / E dunque nessuna sostanza ritorna nel nulla, ma tutte / dissolte ritornano alle particelle elementari della materia (vv. 238-249, trad. di Luca Canali).
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Comminus eminus - 9 aprile 2005